Aire de la conchoïde : 7^ = a sec 0 -|- b
5. Aire de l'épicycloïde. — On a indiqué (p. 237, exercice 4) les équations de l'épicycloïde engendrée par le roulement d'un cercle de rayon b sur un cercle de rayon a. Dans ces équations, le paramètre t désigne l'angle dont le point de contact a tourné sur le cercle fixe. On peut aussi prendre comme paramètre l'angle 0 dont ce point a tourné sur le cercle mobile. On a at = 66. En posant b : a — q, les équations de l'épicycloïde s'écriront
= [l -^ q) cos qb — q cos {l-{-q]^, - =^ {l -\- q) sïn q d — ç sin (1 ■+ q)^.
L'aire d'un secteur se détermine alors par la formule (5) du n^SSO; on trouve
^ = -éq{\-\-q){\^-2q) (l+cose)f/e=.—(a2-f 3flè+2è-) (O+sine) <i jo lia
Si 6 — 2r, on obtient l'aire du secteur limité par une arcade entière de la courbe. Pour obtenir l'aire de l'arcade elle-même, il faut encore retrancher l'aire d'un secteur du cercle fixe dont l'arc est 2~b ; il restera
6. Hypocycloïde . — Les équations de l'hypocycloïde s'obtiennent en remplaçant dans les précédentes^ par — q. Problèmes analogues aux précédents.
7. Courbes unicursales. — Les coordonnées x et y d'une courbe unicursale peuvent s'exprimer en fonction rationnelle d'un paramètre l. Donc la quadrature de ces courbes dépend d'une intégrale rationnelle et peut toujours se faire sous forme finie. Dans le cas particulier examiné au n» 181 où le paramètre t est égal k y : x, on a ocy' — i/x' = œ\ L'aire d'un secteur se calculera par la formule (5) du n^ 289, qui prendra la forme simple
dt.
Appliquer cette formule aux cubiques unicursales suivantes :
x[x^ -|- y2 j , 2ay (cis^oïde),
(x -\- a) {x^ -\- y-) = Say- (strophoïde),
x^ + y^ = '^axy (Folium de Descarte).
^ 2. Rectification des courbes.
293. Courbes rectifiables. Rectification des courbes planes. — La longueur d'un arc de courbe entre deux points extrêmes est, par
définition (n°' 244 et 264), la limite du périmètre d'un polygone inscrit dans la courbe et dont tous les côtés tendent vers zéro. Cette limite n'existe pas toujours et l'on appelle reclifiables les courbes dont l'arc a une longueur déterminée. Nous renverrons au paragraphe suivant pour l'étude des caractères les plus généraux des courbes rectifiables et nous nous bornerons ici aux conditions sur lesquelles nous avons fait reposer les formules des n°' 244 et suivants. Considérons d'abord une courbe plane, ayant pour équation
la longueur de son arc depuis un point fixe M,, d'abscisse Xo jusqu'au point variable M d'abscisse x, s'évalue par la formule (n° 24o)
Ar
s = \ dx\'i-{-y''-.
Les formules de rectification qui conviennent aux autres formes d'équations s'obtiennent en changeant de variable dans l'intégrale définie
Dans le cas d'une représentation paramétrique, on prend t comme variable ; on sait (n" 245) que ds = dt \x'- + y'- . Donc, ta et t désignant les paramètres des extrémités, l'arc aura pour mesure
(2i s-f dt\x'^-\-y'K
Dans le cas des coordonnées polaires, ds = \dr- -f r^rfQ^ Soient (?'o, ^o), [r, B) les extrémités de l'arc à mesurtîr. Il vient, suivant qu'on prend h ou r comme variable,
(3) -/^^«y/'-'+CwH^v/i+Kl
294. Exemples de rectifications (coordonnées rectangulaires^ — I. Chaînette. On a, dans ce cas (n° 259;,
Calculons l'arc à partir du sommet A où .r = 0, la formule (1) donne i r^/ - --\ 1
g"+e " dx = ~ e"-e
— Ô\JD —
II. Parabole. Prenons l'axe de symétrie pour axe des y et le sommet pour origine. On aura
Donc l'arc, compté à partir du sommet, a pour mesure
= - dx\x- -f p-
En remplaçant «^ par — p- dans l'intégrale indéfinie, calculée au n" 288 à l'occasion de l'aire de l'hyperbole, il vient
De là la valeur de s
•^- = 2^VÏM^+ 1 Log ^ ^^^ •
III. Cycloide. Considérons la représentation paramétrique habituelle
x ^ a{t — sin /), y ^ a[\ — cos t). L'arc, compté à partir de l'origine où f = 0, a pour mesure
s = aj dt\j{i — co%tY + sin^ t = 2a 1 sin^rfr= 4a (\ — cos^V
295. Intégrales elliptiques de Legendre. Rectifications de l'eUipse et de l'hyperbole. — L'arc de ces deux courbes s'exprime par des intégrales que l'on ne peut pas réduire aux fonctions élémentaires, mais on peut les ramener aux deux intégrales définies suivantes :
F {k, cp) ^ f^.r— ^^-— -, E {k, cp) = C dcpVl-^-^sin> • Jo \i — k^ sin^ (p ^0
où le paramètre k est < i. Legendre a donné à ces intégrales le nom
d'intéyralcs elliptiques de première et de seconde espèce. On a dressé
des tables qui permettent de les calculer pour les diverses valeurs de
<f> et de k.
Les intégrales sont dites complètes, si cp = ^; elles se désignent par
F, [k) = {\ ^l . ^, E, l^) ^r'd'^Vi-^-^sin-^Tyo VI — k^ sm^ <p Jo
Arc d'ellipse. Soit la représentation paramétrique X = a sin <p, y = b cos ».
L'arc BM, compté à partir du sommet B du petit axe où o == 0, a
pour mesure
s = y do Va;'- + y'- = rf'f Vfl- cos- o + b- siiv- cp
L'arc d'ellipse dépend de l'intégrale elliptique de seconde espèce. Posons, en effet, k- = {a- — b-):a-; il vient
\a' coJ cp + 62 sin2 cp = a Vl — ft^ sin- (d
d'où 5 = « E (^-j 'f).
Si cp = - : 2, l'intégrale est complète et l'arc égal au quart du périmètre de l'ellipse. Le périmètre total sera donc 4a Ej (A).
Arc d'hyperbole. On peut prendre comme représentation paramétrique de l'hyperbole rapportée à ses axes, le système
X = -. — , // --= b cot », smcp
car, en éliminant cp, on retrouve l'équation classique de la courbe. L'arc AM, compté du sommet, où cp -= ^, jusqu'à un point M où cp est
<-^, a pour mesure
s =J ^d. Vo^^F = j !^^ \Vcos-^o+-R.
Une intégration par parties et une décomposition donnent facilement
♦ —9 9 r-r^ P a^cos'-cprfcp
s = cot Ci \'a2 cos^ '^ 4- ^2 , ^ ^ =
J o Va2 cos2 cp + ^2
, rï ri do
j-^ ' ' J'f V« cos2(p+è
Posons Â;2 = a- : (a2 + ^2 ), d'où
Va2 cos2^T"^ - I Vl — /i;2sin2^ ; l'arc .9 dépend des intégrales elliptiques par la formule .v=cotcp V^cos2 cp 4- b' -|[E,(^)-EUM] + -^[Fi W-'^miK?)].
296. Exemples de rectifications en coordonées polaires. — L Spirale
logarithmique : r = ae^^. Prenons r comme variable ; nous aurons m9 = Log r — Log a, d'où
m Jr„ m
S = ar — (,- r^y
Donc /'fl?T de /fl spirale logaritJunique varie proportionnellement au rayon vecteur. Le pôle est un point asymptotique de la courbe, car r ne s'annule qu'en faisant tendre 6 vers — <x. L'arc-limite, compté de ce point, conserve néanmoins une valeur finie
Vl -f m-
IL Spirale d'Archimède : r = «Ô. L'arc compté à partir du pôle a pour valeur, en intégrant par rapport à r,
," ▼ dr- "Jo
C'est la même intégrale que celle à laquelle conduit l'évaluation de l'arc de la parabole. Donc les arcs de la parabole x- =- '2ay et de la spirale r — rtô ont même longueur, quand on compte le premier entre les abscisses 0 et x et le second entre les rayons 0 et r = x.
m Lemniscate : r~ = a^ cos'^G. Si l'on prend r comme variable, on a
t, 1 f- dh t
« -= a arc cos —, -j-= — \/-t-^^^- 2 a- dr \a* — r*
L'arc compté à partir du sommet, où r ^ a, a donc pour mesure
dr
rW'^-efy-fvA.-
Cette intégrale se ramène à Vintégrale elliptique de première espèce (no 29S) en posant r = a cos 'f ; il vient ainsi
r^ sin f d(f /*» dcp a r^ d»
Donc s = .— F L :-,'■? V V2 VV2 ^/
297. Rectification des courbes gauches. Exemple, — Lorsque les coordonnées rectangulaires .r, //, -; d'un point de !a courbe sont
considérées comme fonctions de t, la longueur de l'arc AB, compris entre les points dont les paramètres sont a et b, a pour mesure
rt'
Comme exemple, considérons l'intersection des deux cylindres :
ai a
Prenons x comme variable. On tire de la première équation h.,
et de la seconde
^ = rt Log — ' , z' = -f- -'
Comptons l'arc à partir du point où a; = a ; il viendra
rr v/fl2 l/i2 rar xdx Vfl24-ft^ ,
a a Ja \Jx- — a- a
Exercices.
1. Epicycloides . — Les équations de l'épicycloïde sont (Exercice 5, p. 298) :
~ = {\-{-q)C0&q^ — qQ.OS{\-\-q)^, '^ = {\ J^ q) sin ^0 — q sin (1 -j- q)%^
On en tire
— =2^(1 -f^) sin-
L'arc compté à partir du point de rebroussement où 0 = 0, sera
|-=2^(l+ry)(^l C0S^).
Toutefois, comme l'élément ds doit être positif, cette formule n'est applicable que si 0 varie de 0 à 2-. Si 0 = 2-, on obtient le périmètre d'une arcade entière
Ab s = 4aq{l +q) = —(a + 6).
L'arc d'épicycloïde s'exprime algébriquement en fonction du ra^'On vecteur 7\ On a, en effet,
r-^ = x^ -\- ■if = {l+ 2qf — 49- (1 -r q) cos^|
d où l'on tire cos - et, par suite 5 en fonction de r.
En changeant q en — q dans les formules précédentes, on obtient des résultats correspondants pour Vhypocycloïde.
Les rectifications de la cardioïde (Exercice 6, p, 237) et de Vastroïde (Exercice 3, p. 255) sont des cas particuliers des précédentes.
