Courbes gauches. — Arcs des deux courbes suivantes

w -- ^:r- ' z^ TT-, et x = asm-> z = - Log •

2a ba- a 4 a — x

R. L'arc compté de l'origine a pour valeur s = x -{- z pour les deux courbes.

;^ 3. Définitions analytiques les plus générales

des courbes continues, fermées, rectifiables, quarrables.

Fonctions à variation bornée. Intégrales curvilignes.

298. Fonctions à variation bornée. — Soient y^-^f[x) une fonction de X bornée dans l'intervalle («, b) et X un point de cette intervalle, donnons à x une suite de valeurs croissantes x^^ = a, x„,... .Cn , x,i^i = X ; soient //i, ji/o,... jhi+i =^ Y les valeurs correspondantes de y ; faisons la somme des différences successives de y ; il viendra

p désignant la somme des différences positives et — 7i celle des différences négatives. Désignons encore par t la somme des différences absolues ; nous aurons

}i (2) ^ =- ï I y KM — yk \^p-\r «.

Les valeurs extrêmes a et X restant fixes, les trois sommes p^ «, t dépendent encore du nombre et de la position des valeurs intermédiaires. Faisons varier ces deux éléments de toutes les manières possibles; si l'une des trois sommes est bornée, les deux autres sommes le seront aussi, en vertu des équations (1) et (2). Quand il en sera ainsi, nous dirons que y est une fonction à variation bornée entre a et X. (('. Jordan.)

Dans cette hypothèse, on peut choisir successivement les points intermédiaires de manière que p s'approche indéfiniment de sa limite supé-

rieure P. Les équations (1) et (2) montrent que n et l tendront en même temps vers leurs limites supérieures iS et T et ces équations elles-mêmes deviendront, à la limite,

Nous allons faire connaître maintenant quelques propriétés importantes des sommes p, n, t et de leurs limites supérieures P, N et T.

P Si Von aioute une nouvelle valeur intermédiaire ç entre x/^ et xiij.^, la somme t peut augmenter mais non dccroitre ; elle augmente (V ailleurs au maximum du double de V oscillation de y dans Vintervalle

Soit r, la valeur de // au point : ; l'adjonction do ce point remplace dans t le terme unique | yh^i — \in \ par deux autres, dont la somme est au moins égale, | î//5 i — t^, | -f- | T| — y^ |. D'autre part, chacun de ces nouveaux termes est au plus égal à l'oscillation de xj entre X)^ et ^^^1. Donc t ne peut croiti'e de plus du double de cette limite.

2° Si y est coiitinue, les sommes p, n, t ont respectivement P, N et T pour limites quand les valexi.rs intermédiaires de x se rapprochent indéftnim^ent les unes des autres.

Le théorème vrai pour une des trois sommes le sera pour les deux autres. Démontrons-le pour t seulement.

Pour cela, il faut montrer que la somme t relative à un système S de points intermédiaires surpasse T — 2 e, quelque petit que soit le nombre positif donné 2 1, pourvu que les intervalles de ces points soient assez petits.

On peut d'abord, par définition de T, trouver un système de points S' tel que la somme correspondante t' vérifie la condition i' > T — £. Soit v le nombre des points de S'. Je dis que le système de points S fournira uue somme tyT — 2^, pourvu que ses intervalles soient tous inférieurs à s: 2v.

Considérons, en effet, un troisième système de points S", formé de la réunion de ceux de S et S", et soit t" la somme correspondante. Comme il faut ajouter / points au plus pour passer de S à S", il faut v accroissements au plus, tous moindres que i : v (propriété 1°) , pour passer de ^ à t". On a donc t -\- t y t". Mais, d'autre part, S"se forme aussi par l'adjonction de nouveaux points à S'. Donc t" > <' et a fortiori t" > T — t. Nous obtenons donc l'inégalité à démontrer t -{- t > T — î.

3° Si la fonction y est à variation bornée dans Vintervalle [a, b), elle est de même nature dans toute portion (a, X) de cet intervalle et les quantités P, N, T so7ît des fonctions stationnah^es ou croissantes de X.

Donnons à x une suite de valeurs intermédiaires entre a et b et prenons X au nombre de ces valeurs. Considérons la suite des valeurs correspondantes de /y. La somme des différences absolues de ces valeurs

entre « et X sera moindre que la somme analogue entre a et h. Donc, si cette dernière a une limite, la première en a une aussi et y est à variation bornée dans l'intervalle (a, X). Le même raisonnement prouve que T, qui est la limite de la somme précédente, ne peut pas diminuer quand X augmente. La démonstration est analogue pour P et N.

4° Si la fonction à variation bornée y est, en outre, continue dans Vintervalle («,ô), P, N e^ T sont aussi fonctions continues de X dans le même intervalle.

Il suffit de prouver le théorème pour T.

Considérons le système de valeurs : x-^ =«, x^,... a;,jj.i = J ; soit Ti la valeur de T pour X = xi et posons

Chacune des quantités ti a pour limite Tj quand les valeurs intermédiai''es se rapprochent indéfiniment. On peut d'abord les supposer suffisamment rapprochées pour que la différence entre t,i et sa limite Tu soit < £. La différence entre ii et T/ ne peut être plus grande, si i est < n, car t,i subit les mêmes accroissements que t^ quand on ajoute de nouvelles valeurs entre a et Xè . On a donc

T,^i — Ti<{ti^,-r^ — ti=^ I yi^ri—lli I +- Mais on peut aussi supposer les valeurs de x suffisamment voisines pour que les différences successives de y soient toutes < s, car cette fonction est continue par hypothèse. On aura donc, dans ce cas, T,.;.i — T, <2£. L'oscillation de la fonction croissante T dans l'intervalle (.c,-, Xt-'.i) est précisément T/j.i — T/. On peut donc rendre cette oscillation aussi petite qu'on veut dans tous les intervalles à la fois, ce qui n'est possible que si T est continue.

299. Propriétés des fonctions à variation bornée. — I. Une fonction à variation bornée y est la différence de deux fonctions bornées, positives et essentiellement croissantes dans Vintervalle (a, h) et, de plus, continues si y est continue. Réciproquement, la. différence de deux fonctions bornées et non décroissantes est une fonction à variation bornée.

Nous avons vu que, Y étant la valeur de y au point X, on a

Donc V est la différence de deux fonctions de X bornées et non décroissantes. Ces fonctions sont, de plus, continues si y est continue (n" 298). On peut faire en sorte que ces deux fonctions soient positives et essentiellement croissantes ; il suffit, en effet, d'ajouter aux doux termes de cette différence une même quantité croissante et suffisamment grande, par exemple

Réciproquement, si z et u sont deux fonctions de x bornées et non décroissantes, la fonction :; — u est à variation bornée. En effet, la différence des valeurs de z — ii pour deux valeurs x^ et i>.;. i de x est au plus égale à la somme des accroissements de z et de u dan# cet intervalle. Donc la somme de toutes ces différences entre deux valeurs extrêmes de x ne peut sui'passer la somme des accroissements de ; et de u entre les mêmes valeurs et ^ — u est à variation bornée.

II. La soynme, la différence et le produit de deux fonctions à variation bornée sont des fonctions de même nature. L'inverse 1 : y d'une fonction à variation bornée sera aussi de même nature, pourvu qtie \ y | reste supérieur ô un nombre positif fixe .

La première partie se démontre immédiatement en considérant les deux fonctions y et //' comme les différences z — u et .:■' — «/.' de deux fonctions non décroissantes. On a, en effet,

yy' =[zz' \uu') — {zu' ^uz').

La dernière partie se vérifie aussi facilement, en observant que, si | ^ | est > ijL, la somme

reste toujours sëpérieure à un nombre fixe.

III. Une fonction est intégrable dans tout intervalle où elle est à variation bornée.

En effet, une fonction non décroissante étant intégrable (n° 234, 111), une fonction à variation bornée est la différence de deux fonctions intégrables et est, par conséquent, intégrable.

300. Lignes continues. Contours fermés (^). — Considérons deux fonctions continues de (

"î' = 'fW, y-'Hi)

et faisons varier t de t^ k T, le point M [x, y) décrit une courbe plane continue t^ T.

Si le point M revient à son point de départ pour ^ = T, la courbe est fermée. Si x et y ne reprennent le même système de valeurs que pour le.s valeurs extrêmes de t, la courbe ne se coupe pas elle-même et nous (lirons qu'elle forme un contour fermé simple ou encore qu'elle est sans point multiple.

La distance d'un point fixe A (:, t,) au point M [x, y] d'une ligne

fi) C'est M. C. Jordan qui a éliulié le premier les courbes au point de vue général où nous nous plaçons ici {Cours d'analyse de l'Ecole Polytechnique, 1893).

continue est une fonction continue de t. Si le point A n'est pas sur la courbe, cette fonction ne s'annulera pas ; elle admettra un minimum différent de zéro qu'elle atteindra pour une certaine valeur de i et que nous appellerons la distance du point h. à la courbe.

Si le point A n'est pas iixe, mais seulement assujetti à se trouver sur une courbe continue ; = <ï> (m), yj = W (^<), la distance des points A et M est fonction continue de t, u. Si les courbes ne se rencontrent pas, le minimum de cette distance sera différent de zéro et s'appellera la distance des deux courbes.

301. Nous nous proposons de démontrer les propriétés fondamentales des contours fermés. Pour cela, nous utiliserons un procédé de démonstration qui consiste à décomposer la courbe en tronçons consécutifs, à couvrir la courbe d'un réseau à mailles rectangulaires et à former des chaînons sur les divers tronçons comme nous allons l'indiquer.

Une courbe continue t^ T étant donnée, ses coordonnées x et y sont des fonctions limitées. On peut donc commencer par tracer un rectangle dont les côtés soient parallèles aux axes et qui contienne toute la courbe sans la rencontrer. On décompose ensuite ce rectangle lui-même en parties aussi petites qu'on le veut en menant aux deux cjtés des parallèles suffisamment rapprocbées. Le réseau est alors construit.

Supposons qu'on partage la courbe ^, T en tronçons par les points ^1, t<i,... On peut supposer ces valeurs de ^suffisamment voisines pour que la distance de deux points d'un même tronçon reste inférieure à une limite donnée ô. Construisons un réseau dont toutes les mailles aient leur diagonale inférieure à une seconde limite donnée o' et consiiérons un tronçon en particulier, t)^ ^;, a. j. Hachurons chaque maille rencontrée par ce tronçon, La région hachurée pourra présenter des vides, mais non ^e composer de morceaux séparés, car la courbe ti^ t^:^ j étant continue ne pourrait sauter de l'un dans l'autre. Hachurons aussi les vides, s'il y en a. La région hachurée aura un contour polygonal extérieur sans points multiples, enveloppant le tronçon t^ih-'r i sans le rencontrer, et dont tous les points seront à une distance du tronçon moindre que c)'. La portion du plan que nous venons d'hachurer constitue le cfiainon thti^±.i. La distance de deux points appartenant au contour du chaînon sera inférieure à 0 -f- 2o'. Il en sera de même, par conséquent, pour deux points quelconques du chaînon.

Nous pouvons établir maintenant les propriétés fondamentales des contours formés.

302. Propriétés des contours fermés ('). — I. Etant donné un contour fermé simple t-^ T, on peut constrxdre deux polygones fermés, sans point

(') Les théorèmes I et II se trouvent dans le cours d'analyse de M. C. Jordan qui les a démontrés le premier, mais par des considérations dilTércntes.

multiple, intérieurs Vun à Vautre, tels que la courbe soit renfermée tout entière dans la région annulaire comprise entre eux, que tout point de la régioti annulaire soit à une distance moindre que t de la courbe et tout point de la, courbe à une distance moindre que h de chacun des deux contours polygonaux.

Soient o et o' deux nombres positifs vérifiant la condition o -|- 2o' < t. Décomposons par les points t^,t.-,,...\Q contour en tronçons consécutifs sur chacun desquels l'écart de deux points reste inférieur à o. Soit A la plus petite des distances de deux tronçons non consécutifs. Construisons un réseau dont les mailles aient une diagonale à la fois plus petite que o' et que A : 4 et formons, sur chacun des tronçons de la courbe, le chaînon correspondant, comme il a été expliqué ci-dessus. Ces chaînons auront toutes leurs dimensions inférieures à o — 2o' = t. D'autre part, comme le bord d'un chaînon reste à une distance moindre que A : 4, du tronçon correspondant, deux chaînons non consécutifs ne peuvent se toucher. Considérons, au contraire, les points ^i, t^,... communs à deux chaînons consécutifs comme des ptoints de soudure, l'ensemble des chaînons formera une chaîne fermée, enveloppant une région déterminée du plan.

Traçons, dans le plan, les contours de tous les chaînons. Ceux-ci décomposeront le plan en un certain nombre de régions : une région unique extérieure à la chaîne ; une région unique intérieure à la chaîne ; enfin, un nombre plus ou moins grand de régions limitées par les contours de deux chaînons consécutifs seulement. Nous réunirons toutes celles-ci en une seule que nous appellerons Vanneau. Cet anneau sera limité par deux contours polygonaux P et P', sans point multiple, qui répondent à la question.

En effel, tout point de la courbe, tombant dans un chaînon de dimensions moindres que z, est à une distance moindre que s des deux contours P et P', qui empruntent tous deux le contour du chaînon. Il reste donc seulement à démontrer que tout point m de Vanneau est aussi à une distance moindre que t de la courbe. Pour cela, nous observons que le point m se trouve dans une région R limitée par les contours de deux chaînons consécutifs. Soit ^z, le point de soudure de ces deux chaînons; la droite ti^m sortira de la région R au delà du point m, mais en un point d'un des deux chaînons, donc à une distance <£ du point t}^. Donc m est a fortiori à une distance < s du point ih de la courbe.

II. Tout contour fermé simple décompose le plan en deux régions Vune intérieure et Vautre extérieure à la courbe.

Soient p un point non situé sur la courbe, o sa distance à la courbe. Construisons un anneau dont tous les points soient à une distance de la courbe moindre que o ; le point p tombera à l'intérieur ou à l'extérieur de l'anneau. Nous dirons dans le premier cas qu'il est intérieur à la courbe, dans le second qu'il est extérieur.

Cette distinction ne dépend aucunement de la manière de construire

l'anneau, mais correspond à des propriétés distinctives par rapport à la courbe.

En effet, si le point p est extérieur à l'anneau, il est possible de tracer une ligne polygonale partant de p et s'éloignant à l'infini sans rencontrer la courbe.

Cette possibilité disparaît dès que le point est intérieur à l'anneau. En effet, toute ligne polygonale allant de ^3 à l'infini doit scinder la chaîne et, par conséquent, couper un chaînon en deux, par exemple ^j t.;,, entre ses deux points de soudures ^, et t^. Le tronçon «"j t^, qui est situé tout entier dans ce chaînon, passe donc d'un morceau dans l'autre et doit rencontrer la coupure.

L'ensemble des points intérieurs et l'ensemble des points extérieurs constituent respectivement les régions intérieure etea;ténewreàlacourbe. La région intérieure ne peut pas se réduire à zéro, car elle contient au moins une maille du réseau qui a servi à construire la chaîne. Enfin, deux points intérieurs ou deux points extérieurs peuvent toujours être réunis par une ligne polygonale qui ne rencontre pas la courbe, car on peut construire un anneau contenant les deux points et une ligne qui les réunit sans rencontrer l'anneau.

Suivant que i varie de ^1 à T ou de T à t^ le contour fermé est parcouru dans deux sens opposés. Nous appellej'ons sens direct celui qui laisse à gauche l'intérieur de l'anneau et nous dirons qu'il laisse à gauche l'intérieur de la courbe. L'autre sera le sens rétrograde.

III. Un contour fermé simple étant partagé en plus de trois tronçons consécutifs, on peut y inscrire un polygone fermé, satis poitit multiple, tel que les sommets se suivent dans le même ordre sur la courbe que sur le polygone et quil y ait au inoins un sommet sur chaque tronçon.

(•onstruisons un réseau assez serré pour qu'une même maille ne puisse s'étendre sur deux tronçons non consécutifs. Comme on peut décrire toutes les parties du contour situées dans une même maille, en parcourant deux tronçons consécutifs seulement dans le sens direct, on peut assigner, sans ambiguïté, pour chaque maille m^ rencontrée par le contour, un premier point d'entrée Iv( et un dernier point de sortie 8;^ .

L'indice 1 étant attribué arbitraii'ement à une pi-emière maille ?«,, donnons l'indice 2 à celle où le contour pénètre au {)oint Sj, puis l'indice 3 à celle où il pénètre au point S„, et ainsi de suite. Considérons la suite des mailles m,, m^,... numérotées de la sorte. Le nombre des mailles du réseau étant limité, il y a une première maille qui se reproduira dans la série. Comme on peut recommencer le numéiotage en partant de celle-là, nous supposeions que ce soit la maille ???, et qu'elle se reproduise pour la première fois à l'indice » -f 1. Construisons le polygone SjSo... S„Si; ce polygone répondra à la question.

En effet, les côtés de ce polygone tombent successivement dans les mailles différentes jn.,, W3,... w,j, "^i et ne peuvent se couper. Deux

sommets consécutifs S/, ctS^j-i, étant sur la courbe E^j-iSa-^i se suivent dans le sens direct sur un même tronçon ou sur deux tronçons consécutifs. Donc, en parcourant la série des sommets Sj, S,,..., on parcourt successivement les tronçons dans le même sens, sans en sauter aucun, et, comme on revient au point de départ, on les parcourt tous. ^

Remarque. — Il résulte du théorème précédent que l'on peut inscrire, autour d'un contour fermé simple, un polygone sans point multiple dont les côtés soient aussi petits qu'on le veut. Il suffit pour cela de décomposer préalablement le contour en tronçons, par des valeurs assez rapprochées de t pour que l'écart de deux points, situés sur deux tronçons consécutifs, ne surpasse pas la limite voulue.

303. Courbes rectifiables. — Considérons une courbe continue, définie par les deux équations

Donnons à t une suite de valeurs t^, t^, ... tn, ^n+i = T. Soient, en général, xt^ yt les valeurs de x, y pour t = ii. Le périmètre p du polygone inscrit, ayant ces points pour sommets, sera

Faisons tendre vers zéro les amplitudes de tous les intervalles (^i^i — t^. Si le périmètre du polygone ainsi construit tend vers une limite déterminée et constante, quel que soit le mode de subdivision de l'intervalle {t-^, T) en parties infiniment petites, nous dirons que l'arc correspondant de la courbe est recti fiable et que la longueur de Varc est égale à cette limite.

Pour que cette limite existe, il faut d'abord que le périmètre considéré ne croisse pas indéfiniment. Oj" le côté t^ tij^^ est au moins égal à I Xi^i — Xi I et à I UiJ^i — î/j I, mais ne peut surpasser la somme de ces quantités. Pour que le périmètre reste fini, il est donc nécessaire et suffisant que les deux sommes

S I Xi+i —Xi\ et 2 I î/j^i — iji I

soient limitées et, par suite, que cp (^) et '\> [t) soient des fonctions à variation bornée dans l'intervalle {t^, T).

Cette condition nécessaire pour que l'arc soit rectifîable est aussi suffisante. En effet, supposons qu'elle soit vérifiée. Nous pourron.s désigner par L la limite supérieure des périmètres de tous les polygones possibles et nous allons montrer que le périmètre du polygone t^ t.^ ... ^,j,.i T tend vers L quand l'amplitude de tous les intervalles tend vers zéro.

Pour établir ce théorème, il suffit d'observer que le périmètre p reste

stationnaire ou augmente quand on intercale un nouveau sommet entre tfibt i/i+i mais que cette augmentation, ne pouvant surpasser la somme des deux nouveaux côtés, est inférieure au double de la somme des oscillations de ./; et de y dans l'intervalle (^^j, ik+i) .

Cette remarque est entièrement analogue à celle qui a été faite au n° 298 (1°) et sur laquelle repose la démonstration de la propriété (2°). Donc en raisonnant, dans le cas présent, sur p et L comme nous avons raisonné là pour prouver que t a pour limite T, nous en concluons que p a pour limite L. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant de M. C. Jordan :

La coïidition nécessaire et suffisante pour qiiune courbe, dont les coordonnées sont expritnées en fonction de t, soit rectifïable, est que ces coordonnées x et y soient des fonctions continuas de t à vaination bornée.

Les propriétés fondamentales de l'arc d'une courbe rgçtifiable sont les suivantes : ^

1° Si Von partage v.n arc en plusieurs parties, la longueur totale est égale à la somme des longueurs de chaque partie.

C'est ce que montre immédiatement la considération des polygones inscrits dans chacune des parties et dont l'ensemble est inscrit dans l'arc total.

2° La longueur s d'un arc compté d'un point fixe t^ à un point mobile t est une fonction continue et croissante de t.

L'arc varie en croissant à cause de la propriété précédente et sa continuité se prouve comme celle de la fonction T considérée au n° 298 (4").

3° Donc t est, réciproquement, une fonction continue et croissante de s. Les coordonnées x et y, qui sont fonctions continues de t, peuvent donc toujours être considérées comme fonctions continues de s.

4° Si X et y ont des dérivées contimces x' et y\ s a aussi une dérivée continue.

Soient t qX, t -\- \t deux valeurs de t, As l'arc compris entre elles. Désignons pai' M et m les limites supérieure et inféiieure de .'•'" dans l'intervalle It, par M, et in^ les limites analogues pour //'. Inscrivons dans l'arc As le polygone ayant pour sommets les points i, ... ti, ti^i ... t -\- \t. Le côté quelconque ti tjj^i qui a pour mesure

\(Xis.i — Xi )2 + (y^.i — yi Y mule des accroissements finis,

V 'n + m, (//xi — t,), Vm + M, (/,.-. — ti)

est, en vertu de la formule des accroissements finis, compris entre les limites

Donc le périmètre total et, par conséquent, sa limite \s seront compris entre les deux quantités

V^ + mi \t, Vm 4-Mi M.

On en conclut que le quotient ^s : ^t est compris entre les deux radicaux \/ 7n -{■ m^ et \/ M + Mj qui ont tous deux la même limite quand \i tend vers zéro. Il vient donc, à la limite,

-^ -= lim V wï + '>^i = \lx'" + f-,

ce qui est la formule connue.

Nous avons considéré jusqu'ici une courbe plane, mais ces considérations s'étendent d'elles-mêmes à une courbe de l'espace. Il y a seulement une coordonnée en plus.

304. Intégrales curvilignes. — Considérons les équations d'une ligne continue

^ = ? (0, y -'\' ii)>

et supposons que le point (>'\ y) décrive un aro L de cette ligne quand t croit de t^ à T. SoitP {oc.y) une fonction continue des deux variables x et y. Décomposons l'intervalle t^T par les points ^i, 4,... ik,,--- fnfi = Tet soit 0, un point arbitraire de l'intervalle t^ tij^i . Désignons, en général, para?,, y/ et Çj, T,^ les valeurs de x, y aux points ti et 6^. Formons alors la somme

- P [h, ru) Kii —CCi).

Si cette somme tend vers une limite déterminée quand les valeurs successives de i sont infiniment voisines, c'est-à-dire quand les points successifs (.'V, yi) se rapprochent indéfiniment les uns des autres, cette limite s'appelle l'intégrale du Pdx prise le long de la courbe L dans le sens <iT, et se désigne par le symbole

P [x, y) dx,

JL

Cette expression est une intégrale curviligne. Lorsqu'elle a un sens, on dit que la fonction Vdx est intégrable le long de la ligne L. On a le théorème fondamental suivant :

La fonction Pdx est intégrable sur toute ligne continua, dont l'abscisse x = o [t) est une fonction à variation bornée^ et dans ce cas, l'intégrale effectuée sur cette ligne se ramène à des intégrales définies ordinaires.

Nous pouvons poser x ^= u — z, w et ^ désignant deux fonctions continues de t, essentiellement croissantes (n° 299) et qui varient de u^ à U et de vj à Z quand t varie de t^ à T. Mais alors t est, réciproquement, une

fonction continue constamment croissante de u entre ii^ et U, et aussi une fonction continue constamment croissante de z entre z^ et Z. -» Donc P, qui est fonction continue de t, peut être aussi considérée soit comme fonction continue de u soit comme fonction continue de z. Soient ut, zi les valeurs de u, z au point U ; il viendra

S P (^à -i.) (^^ii - ■'^/) - S P («.il - ih) - ^ P {zi^i - =.)• Si l'on prend u comme variable dauf la première somme du second membre, et z comme variable dans la ser'onde, chacune de ces deux sommes a pour limite une intégrale définie ordinaire. Passons donc à la limite dans cette équation ; nous obtenons la formule

\^dx= {vdu— {'Pdz

L'intégrale curviligne \ Q,dy &q définit d'une manière toute semblable à celle de P dx. L'intégrale de la forme plus générale

flPf/.r+Qc/;?/)

est, par définition, la somme des deux précédentes. Celle-ci aura donc toujours une valeur bien déterminée si les fonctions a: et y sont à variation bornée, c'est-à-dire si la ligne d'intégration est rectifiable.

305. Contours fermés quarrables. — Considérons un contour fermé simple C. Traçons un rectangle contenant co contour et couvrons le d'un réseau à mailles rectangulaires, comme on l'a expliqué précédemment (no 301). Soient S, la somme des aires des mailles qui ne contiennent que des points intérieurs à la courbe et S2 la même somme augmentée de toutes les mailles rencontrées par la courbe. Si ces deux sommes Sj et S2 tendent vers une même limite S quand les mailles du réseau décroissent indéfiniment, on dit que le contour, ou que l'aire intérieure au contour, est quarrable et que cette aire a pour valeur S.

Ciîtte définition (') est conforme à l'idée que nous nous faisons d'une aire plane. En effet, la somme S, ne contenant que des points intérieurs doit être considérée comme une limite inférieure de l'aire intérieure, d'autre part, tout point intérieur se trouvant dans S^, on doit regarder S.^ comme une limite supérieure de l'aire.

De là le théorème suivant :

\. La condition nécessaire et suffisante pour que l'aire intérieure d un contour fe7'mé soit quarrable, est que la somme des mailles du réseau rencontrées par le contotcr ait pour limite zéro, quand toutes ces mailles décroissent indéfiyiiment.

(') La notion d'aire peut encore se généraliser davantage, mais il faut la rattacher à la théorie des intégrales doubles qui sera exposée dans le second volume.

Cette condition peut être remplacée par la suivante :

II. Poiir que laire comprise dans un contour fermé soit quafifible, il est nécessaire et suffisant que Von puisse construire sur ce contour un anneau (n" 302) dont Taire soit aussi petite que Von veut.

En eflet, si l'on construit un réseau R, toutes les mailles rencontrées par la courbe font partie de l'anneau construit avec ce réseau. Si l'aire de l'anneau tend vers zéro, la somme de ces mailles tendra donc aussi vers zéro.

D'autre part, l'ensemble des mailles rencontrées par la courbe forme une région d'un seul morceau pouvant présenter des vides. Soit o la plus petite distance de sa frontière à la courbe. Tout anneau dont les points seront à une distance < 5 de la courbe, sera tout entier dans cette région. Donc si l'aire de cette région peut être supposée arbitrairement petite, on peut aussi construire un anneau d'une aire arbitrairement petite.

III. Tout contour fermé simple ^ = f (^), ^ = 4' (^)> ^^^^<^ quarrable si Vune de ces deu:r fonctions x ou y de t est à variation bornée.

Soit ^,T l'intervalle dans lequel t décrit la courbe. Décomposons-le par les points ti, t^... t,^+^ = T. Soient ï^ et r^i les oscillations ie x et y dans l'intei'valle ti ti+i. Le tronçon ti 4.|-i de la courbe peut être inscrit dans un rectangle de côtés zi et T,^ . Par conséquent, quand les mailles tendront vers zéro, la somme de celles qui rencontrent ce tronçon aura une limite égale ou inférieure au produit e^ tj^- qui mesure ce rectangle. La somme des mailles qui rencontrent le contour proposé a donc une limite inférieure à Ss/ t^j . Si a\ par exemple, est à variation bornée, X est la différence de deux fonctions non décroissantes, w et -c, qui varient de Ml à U et de ^1 à Z dans l'intervalle t^T. Soit r, la plus grande des quantités r,, . On aura

La somme des mailles rencontrées par la courbe a donc une limite inférieure à cette dernière quantité. Celle-ci peut être rendue plus petite que toute quantité donnée, car r, peut être supposé aussi petit qu'on veut en rapprochant suffisamment les valeurs intermédiaires de t. Donc la somme des mailles du réseau rencontrées par la courbe a pour limite zéro.

On conclut, comme cas particulier, de ce théorème que toute cout'be fermée rectiflable sera quarrable^ puisque ses deux coordonnées seront des fonctions de if à variation bornée.

IV. L'aire intérieure à un contour fermé simple et quarrable C peut s exprimer par Vune des trois intégrales curviligjies suivantes :

xdy, — ydx, \\ [xdy—ydx), J [O J [c] V(c)

effectuée sur le contour C dans le sens direct, pourvu toutefois que cette intégrale soit déterminée. Cette condition sera d'ailleurs remplie pour la première si y est une fonction de t à variation bornée, pour la seconde si x est à variation bornée, et pour toutes les trois si la courbe est recti fiable.

Considérons d'abord la seconde des intégrales pioposées.

Construisons un anneau (n° 302) dont tous les points soient à une distance de la courbe moindre que o. Inscrivons ensuite tout autour de la courbe C un polygone, sans point multiple, dont tous les côtés soient assez petits pour ne pas sortir de l'anneau (n° 302). La courbe et le polygone étant tous deux sur l'anneau, la différence des aires intérieures à l'un et à l'autre sera plus petite que celle de l'anneau. Le contour étant quarrable, on peut faire tendre cette dernière vers zéro. L'aire intérieure au contour sera donc la limite de l'aire intérieure au polygone inscrit.

Soient [x^, y y), [x.^, y 2),... les sommets consécutifs du polygone. L'aire S' du polygone se mesure par l'intégrale de ydx effectuée dans le sens rétrograde sur le contour polygonal (n° 291), ce qui revient à faire la quadrature d'une somme de trapèzes. Il vient ainsi

S' = I i: (i/A+i + y h ) [ooh^i — Xk).

Quand les sommets consécutifs se rapprochent indéfiniment, chacune des deux sommes S y^^-i (^a+i — ^a ) ^^ ^ Uk (a^A+i — ^a ) a pour limite l'intégrale de ydx effectuée dans le sens rétrogi-ade sur le contour C, qui est déterminée par liypothèse. Donc la seconde intégrale proposée dans le théorème mesure l'aire intérieure au contour.

On prouve de même que l'aire intérieure au contour s'exprime par la première intégrale pourvu que celle-ci ait un sens. Enhn, si l'aire peut s'exprimer par les deux premières intégrales, elle s'exprimera aussi par leur demi-somme, ce qui achève la démonstration du théorème.

■5 4. Volume d'un solide. Aire d'une surface de révolution.

306. Volumes qui dépendent d'une quadratuie. — La définition des volumes se rattaclie à la théorie des intégrales multiples et sera exposée dans la seconde partie du cours. >'ous n'éludions ici qu'un cas particulier. Considérons une surface dont les sections, parallèles à un plan lixe, soient des courbes fermées et supposons que l'aire d'une section soit une fonction continue tf(a) de la distance .i' du plan sécant au plan fixe. Limitons un solide à l'Intérieur de la surface, en menant deux plans sécants extrêmes aux distances j", et X du plan ti.xe.

Pour définir le volume du solide compris entre la surface et ces deux plans, décomposons ce solide en tranches par les plans consécutifs a^j, Xo,... Xn, Xn-^i = X. Substituons à chacune des tranches, un cylindre ayant même base '-^[Xh) et même hauteur [x^j-^ — x^) et faisons la somme de tous ces cylindres. Cette somme sera

'Lt^{Xj,){Xh^,—XK).

Faisons décroître d'une manière quelconque l'épaisseur de toute les tranches, la somme précédente aura une limite déterminée, toujours la même, que l'on appelle le volume du solide. Cette limite est, en effet, par définition, l'intégrale définie

'f{x)dx.

Cette formule donne le volume compris entre les plans Xi et X. Si l'on veut calculer le volume V compris entre les plans x^ et x, il faudra se servir de la formule

(1) y =^ ( 'fix)dâ

Quand la fonction 'f[x) est connue, cette formule ramène à une simple intégration la détermination du volume Y.

307. Exemples. — I. Ellipsoide : -— + 4^ + ^= i . Cherchons le

volume compris entre deux plans perpendiculaires à l'axe des x. La section par un plan x quelconque est une ellipse dont les demi-axes ont pour expressions

Donc, d'après la valeur connue de l'aire de l'ellipse (n» 288), nous aurons

'^(x) = Tîbci \

Le volume, compris entre les plans 0 et x, sera

Si a; = fl, on obtient la moitié du volume de l'ellipsoïde; le volume

total sera donc ^~abc. Ce volume vaut les ^r du cylindre qui a une des sections axiales de l'ellipsoïde pour base et l'axe normal à cette section pour hauteur, cylindre qui peut être circonscrit à l'ellipsoïde.

IL Paraboloïde elliptique • A^-] — ^ = 2.c. La section faite par le plan X est une ellipse dont les demi-axes sont b VSx etc V2a;, et l'aire ^-abcx. Le volume du segment détaché du paraboloïde par un plan X normal à l'axe, est donc

V = 27Tèc xdx = T^bcx^.

Jo

C'est la moitié de celui du cylindre qui a même base et même hauteur que le segment du paraboloïde.

308. Solides de révolution. — L'aire qui a été désignée par 'f{x) s'obtient immédiatement dans le cas très étendu des solides de révolution autour de l'axe des x. Soit f{x) une fonction continue et «/ = f{x) l'équation d'une courbe en coordonnées rectangulaires. En tournant autour de l'axe OX, cette courbe engendre une surface de révolution. La section faite par le plan x est un cercle de rayon /y. Donc (q(x) = 7TJ/2. Le volume V du segment compris entre les plans x^ et x, sera donné par la formule

(2) V = 7: CVrf^- -=^f/{^)^

dx.

Cette formule s'applique aussi au cas où la courbe est définie par une représentation paramétrique ou en coordonnées polaires, il suffit d'exprimer y^dx en fonction de t ou en fonction de 0 et de donner comme limites à l'intégrale les valeurs limites de t ou de h.

L'aire qui engendre le volume de révolution peut aussi être comprise entre deux courbes

Dans ce cas, le volume de révolution est la différence des volumes engendrés par les deux courbes. On aura donc

(3) V^t; ('"{y:-f/l)dx.

Plus généralement, on peut chercher le vulumc engendi'é par la révolution de l'aire intérieure à une courbe fermée C, entièrement située au dessus de OX. Supposons que le contour C puisse se décomposer en un nombre limité d'arcs sur lesquels .r varie toujours dans le môme sens. En raisonnant comme au n" 291, on verra que le volume de révolution peut s'exprimer par l'intégrale curviligne

(4) \ = -rJifdx,

4 cl

le contour C étant parcouru dans le sens direct (').

309. Exemples de volumes de révolution. — 1. Cycloïde. Supposons que la révolution se fasse autour de la base ; on aura y^dx = fl^ (1 — cos t)^ dt.

Le volume, engendré par l'arc compris entre l'origine et le point qui a pour paramètre t, sera

V =- 71^3 j (1 3 cost + 3 cosH — cos'O dt

„ / 5ï , . ^ , 3 . , , , sin^ = ~a^ [-^ 4 sint + ^ sni^ cost -\ — ^

Si t = Stt, on obtient le volume orz^a^ engendré ])ar l'arcade entière.

II Tore. Le tore est engendré par la lévolution d'un cercle autour d'une droite. Considérons le cercle

^' + iy — cY = «^ ,

dont l'équation donne deux valeurs pour y, savoir

yi =^ c — sja- — X* y-î = c -{- sja- — x^ . On en tire

y2 — y'i = i c sja^ — x^ .

Faisons tourner le cercle autour de l'axe des x, le volume de la tranche du tore comprise entre les plans 0 et x s'évalue par la formule (3). Il vient

V = 4tzc \/a- — x^dx== 27tc 1 x\a'^ — x^ + a" arc sin- • Jo L a

Si a: = a, on obtient la moitié du volume du tore. Le volume total sera donc Sti -ca^

310. Aire d'une surface de révolution. — ( considérons encore la surface engendrée par la révolution d'une courbe »w/i/îfl/)^g quelconque autour de l'axe des x. Nous supposerons seulement que l'ordonnée

C) On peut encore généraliser ce résultat. En raisonnant, comme au n° 305, on peut montrer que l'équation (4) subsiste pourvu que le contour C soit quarrable et que l'intégrale curviligne ait un sens. Ceci aura toujours lieu si le contour C, défini par les équations a; = tp (t), y = "j' (t), est rectiflable et, plus généralement, si x seulement est à variation bornée.

de la courbe soit positive. Prenons comme variable l'arc s de la courbe compté à partir d'une origine fixe. Les coordonnées x ei y d'un point de la courbe seront des fonctions continues de s.

Uaire de la surface, engendrée par la portion de la courbe comprise entre deux points extrêmes, est, par définition, la limite de l'aire engendrée par la révolution d'un polygo7ie inscrit dont tous les côtés tendent vers zéro {').

Soient s^ et S les valeurs de s aux points extrêmes ; marquons sur la courbe une suite de points où s prend les valeurs successives .v,, S2,...-Sn, '^H-i-i = S. Soient Xt et yt les valeurs de a; et 1/ quand s = Si . Inscrivons un polygone ayant ces points pour sommets et soit Ci le côté qui joint [Xi , /y, ) à (x/+i, î/<-m). Ce côté engendre en tournant la surface latérale d'un tronc de cône, laquelle a pour mesure, d'après la géométrie élémentaire.

L'aire engendrée par le polygone entier s'obtient en sommant toutes les expressions semblables à la précédente, ce qui peut s'écrire comme il suit :

2,£^M Ml (,^.^, ,, ) 2.i:^i±li^

(Si+1 — Si) — Ci

Considérons d'abord la seconde somme. Comme ct est la corde de l'arc Si^i — s, , toutes les ditférences entre crocbets sont positives. Donc, M désignant le maximum de y, cette seconde somme est moindre que

2 7c M I [(s/-;., — Si) — Ci] = 2 7: M [S — à-, — Ë Ci]

Comme l'arc S — i-j est, par définition, la limite du périmètre ïr,, cette expression tend vers zéro quand tous les côtés tendent vers 0.

L'aire de la surlace de révolution est donc égale à la limite de la première somme. Mais, la demi-somme de y, et //,j., étant une valeur moyenne de // dans l'intervalle (s,, S/j-,) de s, la première somme tend, par définition, vers une intégrale définie, quand tous ces intervalles tendent vers zéro ; et l'on obtient, pour calculer l'aire A de la surface, la formule

(5) A = 2 t: Cy ds.

(}) La définition de l'aire d'une surface quelconque sera donnée dans la seconde partie du cours.

Cette formule suppose seulement l'arc rectitiable. On peut en déduire d'autres applicables aux divers cas qui se rencontrent en pratique et dans lesquels s n'est pas la variable indépendante. Ces formules se déduisent de la précédente par un changement de variable, mais il faut des hypothèses plus restrictives.

Suivant que la courbe S(^ra définie par une représentation paramétrique, par l'équation ii = f{a-), ou en coordonnées polaires, on aura, pourvu que les dérivées représentées par â'\ y' et r' existent et soient continues,

ds = dt V x'- 4- y'' - dx V 1 + ?/'' — rfOV 7-2 -h r''. Prenant t, x ou G comme variable, on transformera donc, suivant le cas, la valeur (5) de A dans l'une des suivantes :

27T Çy \x''-hi/ dt, 27c (1/ VT+^ dx, ^n (\r sin 9) V r- + r'" dO,

les limites se rapportant aux extrémités de l'arc. Ce sont ces formules que l'on applique en pratique.

311. Aire de l'ellipsoïde de révolution. — Nous prendrons pour variable l'augle j^ déjà cousidéré au n^ 29o. On a alors x^ a sin cp, y = h cos <p, ds = d'f\ a^ cos^ o -\-b- sin^ cp

Il y a deux cas à distinguer suivant que l'ellipsoïde est de révolution autour du grand axe ou du petit.

1° Ellipsoïde surhaussé {a > h). Soit £ = (Va^ — b^) : a l'excentricité absolue. Pour obtenir l'aire totale de l'ellipsoïde, il faut doubler l'aire engendrée par l'arc ayant pour extrémités cp == 0 et cp =^ t : 2. On aura, par la relation e sin cp = sin t,

A TT nh rare sin t

dt

(t 4:Tzab farcsins

S -= 4 - flft y 1 e2 sin2 cp cos cp rfcp = cos'' t

Jo ' * £ Jo

S = t -\- sni t cos t

arc sin t grc g^ £

^nab

Ce résultat se simplifie par la relation V 1 — e^ == & : a ; il vient <j « r.2 I K âi'C sin e"