S = 2 TT 0^ | Q

2° Ellipsoïde surbaissé [a < b). Soit k -^ {\f b^ — a-) : « ; on aura

S = 4 - rtft I \'T4^Fsîn«9 cos <p dcp = 4 tt ab k ]\l-^ + t^ dt.

Cette intégrale a été calculée au n° 294 ; il vient

S = 2 71 at I V 1 + r- + ^ Log [k + V 1 + k')

et, par la relation VT-P^ =^h :a,

S = 2 7t ["^2 + -^ Log [k + VT+~F)

Ces deux expressions donnent à la limite l'aire de la sphère en faisant tendre /; vers a et, par conséquent, s et ^ vers zéro. On trouve la valeur connue 4 tt a^.

Exercices.

1. Calculer les volumes et les surfaces engendrées parles révolutions:

1° d'une chaînette autour de sa base ; 2° d'une spirale logarithmique autour de l'axe polaire ; 3° de la cardioïde : r = 2a [\ — cos 6) autour du même axe ; 4° de la lemniscate : r- = cC^co^^^ autour du même axe. Ces problèmes conduisent à des intégrales qui s'effectuent facilement sous forme finie.