Volumes engendrés pav les révolutions
1° d'une spirale d'Archimède autour de l'axe polaire ; 2" d'une cissoïde autour de son asymptote. Ces volumes se calculent également sous forme finie.
§ 5. Calcul des intégrales définies par approximation.
312. Principe de la méthode. — Un grand nombre de problèmes relatifs à la mécanique, à la physique et à l'art de l'ingénieur conduisent à des intégrales définies qu'il est impossible d'obtenir rigoureusement sous forme finie. Pour les calculer il faut recourir aux formules d'approximation. Celles-ci sont d'autant plus avantageuses qu'elles exigent moins de calculs et comportent une exactitude plus grande. Il en existe un grand nombre. Nous allons faire connaître seulement les plus utiles et les plus élémentaires.
L'intégrale définie f[x)dx, où nous supposerons f[x) positif et h > fl, représente, comme on l'a vu, l'aire S limitée par la courbe !/ = /(a), l'axe OX et les deux droites x^a et x = b. Le problème d'évaluer cette aire est donc le même que clui de calculer l'intégrale ; et, réciproquement, toute détermination api)rochée de l'aire S fournira une valeur approximative de l'intégrale.
313. Détermination de limites supérieures et inférieures d'une intégrale définie. — Nous supposerons que dans tout l'intervalle (a, b) de l'intégration, la courbe y = f(œ) tourne sa concavité dans le même sens. Si cette condition n'était pas réalisée, il faudrait commencer par décomposer l'aire en plusieurs autres pour lesquelles la condition aurait lieu.
Nous supposerons, pour fixer les idées, que la courbe tourne sa concavité vers le bas. Dans l'hypothèse inverse, l'ordre des limites que nous allons obtenir serait interverti. Une limite supérieure deviendrait une limite inférieure et réciproquement.
Ceci posé, on peut, d'après M. Mansion, procéder comme il suit pour enfermer l'intégrale entre des limites que l'on sait évaluer :
On décompose l'inter-
A^-T'H fû"! — r\B' ^^^^^ ^^' ^•^ ^'^ "^^ nombre
pair 2n de parties égales
d'amplitude h={b — a) : 2?i par les points x^ =-- a, x^, x^,... XonJ^i, = b ; puis on décompose l'aire S à évaluer en segments consécutifs ^j, jg,.-- '^2n (fig. 12) en menant toutes les ordonnées correspondantes!/,, y 2,... î/2n+i.
La courbe tournant par hypothèse sa concavité vers le bas, tout segment compris entre deux ordonnées quelconques yi et ?//c surpasse le trapèze quj l'on y inscrit en joignant les sommets des deux ordonnées.
On trouve ainsi, pour le segment cr^ compris entre les ordonnées yn et yh\u rinogahté
(1) ^k > -^(Vk-i-ykj-i).
De même, pour le segment a^j + agj^j compris entre les ordonnées y-zieiyzi + o.,
Mais on peut aussi assigner une limite supérieure aux segments. Tout segment compris entre deux ordonnées verticales est moindre que le trapèze qu'on lui circonscrit en menant à la courbe, entre ces ordonnées prolongées, une tangente intermédiaire quelconque. En particulier, le segment ff2t-i + <^2i compris entre les ordonnées
Fig. 12.
y-zi-i et y-îi + i est moindre que le trapèze qu'on lui circonscrit en menant la tangente au sommet de l'ordonnée médiane iju- Ce trapèze a pour mesure sa hauteur 2/i multipliée par la moyenne yzt de ses bases. On a donc
(3) <^2e-l + <^2^ < ^hy^i.
De là résultent facilement diverses limites supérieures ou inférieures pour l'aire totale S. Pour les écrire plus facilement, désignons par :
P la somme des ordonnées paires 2/2 H- 1/4 +... + y-zn,
I celle des ordonnées impaires 2/1 -f 2/3 +... 4- yon+i ;
E, celle des ordonnées impaires extrêmes y^ -\- y-t^+i ;
E2 celle des ordonnées paires extrêmes y^ + y-n-
On obtient d'abord une limite supérieure L par la formule (3). On a, en et^et,
S-'i(a2i i4-^2i)<2/iP
Par conséquent
(4) S < L = 2/jP.
On obtient ensuite une première lijnite inférieure l par la formule (1), car on a
