S = 2:<XA>|(2P + 2I-,E

par conséquent,

Cette formule donne une valeur approchée / de S; on l'appelle la formule des trapèzes.

Enfin on peut obtenir une seconde limite inférieure /' en combinant les formules (1) et (3). On a, en eflet,

S = CTj 4- (T;„ -4- S (ffo, 4- Jo.J. 1).

On remplace ^^ et a^,, i)ar leurs limites (1) et les jiarenthèses par leurs limites (2), ce qui donne

S>AËi+^+/, (2P-E,)

et, en réduisant,

Cette dernière limite a l'avantage de ne pas faire intervenir les ordonnées intermédiaires d'ordre impair. Quand on se sert des limites (4) et (6), on peut donc se dispenser de calculer ces ordonnées.

314. Formules de Ponceiet et de Simpson. — Ces formules s'obtiennent par la combinaison des limites précédentes :

1° La formule de Ponceiet s'obtient en donnant comme valeur à S la moyenne arithmétique des valeurs L et /'. On trouve ainsi

L'erreur commise sera moindre en valeur absolue que

L — l'^h E.2— El

mais on en ignore le sens.

Cette limite de l'erreur peut se représenter géométriquement.

En effet, si l'on joint (fig. 12) les sommets A et B des ordonnées extrêmes y^ et yzn+i et les sommets A' et B' des ordonnées extrêmes de rang pair y, et y^n, ces deux droites AB et A'B' interceptent sur l'ordonnée du milieu yn un segment PQ qui est précisément égal à (E.j — El) : 2. L'erreur est donc moindre que la moitié du rectangle construit sur ce segment PQ et la distance h de deux ordonnées consécutives.

La formule de Ponceiet est très suffisamment exacte et elle est surtout pratique à cause de sa simplicité. Elle ne nécessite pas le calcul des ordonnées intermédiaires de rang impair.

2° La formule de Simpson s'obtient en faisant

(8) S = ^i±^ = |(4P + 2I-Ei).

La formule de Simpson se montre presque toujours pratiquement la plus exacte. Mais les principes qui nous ont servi jusqu'ici ne suffisent pas pour justifier théoriquement de sa supériorité. Tout ce que nous voyons pour le moment, c'est que l'erreur ne peut pas surpasser

Pour justifier de la supériorité de la formule de Simpson, nous allons chercher par une autre voie une expression analytique de l'erreur commise. Celte expression pourra servir en pratique chaque

fois que la dérivée quatrième de f{œ] sera connue. Dans les autres cas, la formule de Poncelet sera préférable à celle de Simpson, car elle donnera un résultat aussi sûr avec moins de calculs.

315. Reste de la formule de Simpson. — Nous appellerons reste de la formule de Simpson, la différence entre la vraie valeur de l'intégrale et celle que donne la formule de Simpson. Nous allons donc chercher une expression commode de ce reste.

Nous pouvons nous affranchir de toutes les conditions que nous avons imposées à la fonction f{x) dans les numéros précédents. Par contre, nous devons en introduire une nouvelle ; nous supposerons que les dérivées de l{x) sont déterminées et continues jusqu'au quatrième ordre inclus.

Nous commencerons par former l'expression du reste dans le cas où le calcul se fait avec deux subdivisions seulement. Il n'y a alors qu'un seul point de subdivision de l'intervalle d'intégration, nous le désignerons par x et les valeurs extrêmes seront x — h, ei x -{- h.

Soit ¥{x) une intégrale de f{x). La vraie valeur de l'aire cherchée sera

¥ix-\-h) — ¥{x — h),

et celle fournie par la formule de Simpson

^[nx-\-h)-^({x-h)+4f{x)]

Considérons x comme donné et h comme variable ; les deux expressions précédentes seront fonctions de h et leur dilférence ou le reste de la formule pourra se désigner par cp(//). Il vient ainsi

cp(/0 =^ F{x + h) - Y{x - h) - ~[f{x + h) + f{x - h) + 4/(x)l.

Comme le montre un calcul simple, cette fonction s'annule ainsi que ses dérivées premières et secondes pour // = 0 et la déiivée troisième a pour expression

?"'w = - 1 ir (^ + /// - r"(^- - /oi.

Désignons par ç une quantité inconnue mais comprise entre x — h et X -j- h; le théorème des accroissements finis donne

Multiplions successivement par dli et intégrons trois fois de suite

— Salles deux membres de celte équation entre 0 et h. On peut chaque fois, en vertu du théorème de la moyenne, et sans qu'il faille changer le sens général de ç, faire sortir le facteur p^{l) du signe j" et n'intégrer que la puissance de h. On trouve ainsi, puisque cp, tp' et ^" sont nuls pour /i = 0,

Telle est l'expression simple et remarquable de l'erreur commise quand on applique la formule de Simpson avec deux subdivisions seulement. Si la courbe est une parabole du second ou du troisième degré, la dérivée ¥ de f{x) est identiquement nulle et la formule de Simpson donne un résultat exact.

Revenons maintenant au cas général, envisagé au n° précédent, dans lequel il y a un nombre pair 2n de subdivisions. Considérons le segment ao^-i + a.,^- de la courbe (n** 31 3j compris entre les ordonnées y-îi-iel y2i + i- On peut le calculer par la formule que nous venons d'établir. Il vient ainsi

^2i-i + ^2i = 3 [yzi-i +yzifi + 4j/2i] — ^ p(^) ±.

où ^ est intermédiaire entre x^i-i et Xo^+i .

Faisons la somme des résultats précédents pour tous les indices i = 4, 2,... ?i ; il viendra, i étant maintenant compris entre a et b,

S = |[2I + 4P-E,]-w|r(i)|^ ou, comme ^nh =^ b — a,

Cette formule coïncide avec la formule (8), à part le dernier terme. C'est la formule de Simpson complétée par l'expression du reste. Cette expression permet donc d'évaluer une limite de l'erreur commise par la formule primitive. Si la dérivée quatrième ne change pas de signe, le sens de l'erreur sera connu, puisqu'on connaîtra le signe du reste. Celui-ci pourra même servir à rectifier dans une certaine mesure le résultat obtenu.

Si h est très petit, l'erreur commise par la formule de Simpson sera très petite, car elle est seulement du quatrième ordre par rapport à //. C'est de là que vient la supériorité de cette formule sur les autres où l'erreur est d'un ordre de grandeur plus élevé.