CHAPITRE X

Des séries.

§ 1. Généralités sur les séries à termes constants. Séries absolument convergentes.

316. Définitions. — On appelle série une suite indéfinie de quantités, réelles ou complexes, Uj, Mj,... Un,... formées suivant une loi déterminée et que l'on ajoute successivement les unes aux autres. Le terme «nse nomme le terme général de la série. Son exj)ression donnée en fonction de n fait connaître toute la série. Soit

Sn = 1h +«2 +••• +«n

la somme des n premiers termes de la série. Si, pour une valeur indéfiniment croissante de jj, la somme Sn tend vers une limite finie et déterminée s, la série est convergente et s est la somme ou la valeur de la série. Si s„ ne tend vers aucune limite ou augmente indéfiniment, la série est divergente.

Lorsqu'une série est convergente, la différence

entre la somme de la série et celle des n premiers termes s'appelle le reste de la série à partir du n'^""' terme. Ce reste est la somme de la série suivante :

qui est donc convergente (ou divei-gente) en même tcn)i)s que la première. Ainsi, on peut toujours dans l'étude de la convergence d'une série faire abstraction d'un nombre limité de termes au début. Si la série est mise sous la forme ilu,;, on j)eut donc aussi, à ce j)oinl de vue, remplacer n par n -\- k ou n — k dans le terme général, A- étant fixe, puisque cela revient à ajouter ou à retrancber k termes au début.

• 317. Caractère général de convergence. — Pour (pi'une série converge, il faut (jue les sommes successives a*,, s.,,... Sn,... tendent vers une limite déterminée. De là la proposition fondamentale :

La condition nécessaire et suffisante pour qu'une série converge est que l'on ait,

\im{Sn^p — Sn)^0, n=co

le nombre p reste arbitraire et pouvant croître d'une manière quelconque avec n.

Quand les quantités ^j, s^,... sont réelles, ce théorème est la reproduction de celui du n° 13. D'ailleurs ce théorème subsiste si les quantités «i, s^,... Sn,... sont complexes. En etfet, si l'on a

Sn ^^^ S n -f- ÎS 11 ,

s'n et s"n étant réels, il faut, par définition, que s'n et s"n aient une limite pour que s„ en ait une. Il faut donc que l'on ait

lim {s'n^p — s'n) = 0, lim {s"ns.p — s"n) =- 0,

ou, ce qui revient au même,

lim[(i-'nx^— i-'n) +i {s"n^rp — ^"n)] = lîm [Sj^^-^ — Sn) -= 0.

Corollaire Le théorème précédent, nous donne immédiatement la condition suivante, toujours nécessaire, mais non suffisante, pour la convergence d'une série :

Dans toute série convergente, le terme général Un a pour limite 0 pour n infini.

En effet, en faisant p ^ \ dans la condition précédente, on trouve lim [Sn -f 1 — Sn) = lim m„ j. i = 0.

318. Cas de convergence d'une progression géométrique. — Une des

séries les j)lus utiles à considérer est la progression géométrique a + ak + aA-2 +... + «A" +...

On a ici

Si I A; I est < 4, A" tend vers zéro et Sn vers a: (l — k); la série converge.

Si I A; I est = ou > 4, le terme général al" n'a pas pour limite zéro et la série ne peut pas être convergente. (Sauf si a = 0, auquel cas tous les termes sont nuls.)

319. Addition des séries. — Etant données deux séries convergentes s -= i^Un^/ s' =^ '^Vny kl série s" = ^ (Un ± Vu) sera convergente et aura pour somme s ± s'. On peut d'ailleurs considérer Un ± v« comme un

seul terme ou comme deux termes consécutifs de s", car, ces teimes tejidant vers zéro, la valeur de s'' est la même dans les deux cas.

Soient Sn , s'n, s'ù les sommes des n premiers termes pour chaque série, (m„ ± Vn) étant considéré comme un terme. On a, quel que soit n,

Sfi — Sn ± S)j

Donc, à la limite, s" --^ s ± s'.

320. Séries absolument convergentes. — On dit qu'une série est absolument convergente, quand elle converge après qu'on a remplacé chaque terme par son module. Une série absolument convergente est convergente. C'est un cas particulier de la proposition suivante, qui est d'une application fréquente :

T. Toute série ^Un dont les termes ont leurs modules respectivement égaux ou inférieurs aux termes de même rang d'une série convergente à termes positifs il?',, fou aux modules des termes d'une série absolument convergente) est convergente et absolument convergente.

On aura, en effet,

I Un -'-i -f Un -:-2 4--..+ Un+p \ < »'n + i + ''«+2 +---'nliJ-

Le second membre tend vers zéro pour n infini, parce que le caractère de convergence doit se vérifier pour la série i^r„ qui converge par liypothèse. Donc le premier membre a aussi pour limite zéro et le caractère de convergence est vérifié pour Hun. D'ailleurs, la convergence est absolue, car le raisonnement précédent subsiste après qu'on a remplacé chaque terme w„ par son module.

II. Si deux séries 'ïliin et Xv,, sont absolument convergentes, leur somme ou leur différence '^{un ± y») est encore absolument convergente.

Soient r» et r'n les modules de r„ et de r„. La série à termes positifs i^(r,H- 7-,',) sera convergente {n° 319). Comme le module de {Un^v,,) ne peut surpasser (>'/,+?';(), la série iI(M„±î',,) sera absolument convergente en vertu du théorème précédent, soit qu'on considère m„ ± î»,, comme un seul terme ou comme deux termes consécutifs.

III. On peut changer l'ordre des termes d'une série ^Un absolument convergente et les grouper comme on le veut sans altérer la valeur de la série.

Soit e un nombre positif aussi petit qu'on veut. Désignons par i^n le module de m„. On peut, par liypotlièse, supposer n assez grand pour qu'on ait, p restant arbitraire,

Soit Su la somme des 71 premiers termes de la série rangés dans l'ordre primitif et s sa limite. D'autre part, sommons successivement les termes d'une autre manière quelconque. Il arrivera un moment où la somme s'm ainsi obtenue comprendra tous les Un d'indice < «, mais avec d'autres termes d'indices (m + a), {n 4- ,3)... {n -{-p). On aura

Donc sln finit par différer aussi peu qu'on veut de s„ , qui diffère lui-même aussi peu qu'on veut de s, et s,n a pour limite s.

Remarque. — La démonstration précédente suppose que, pour cliaque valeur de n, la somme s'„i se compose d'un nombre limité de termes. On ne peut plus raisonner ainsi, si la sommation se fait en groupant les terme:' dans un nombre plus ou moins grand ou même illimité de séries partielles, que l'on ajoute successivement les unes aux autres. Cependant le théorème ïll subsiste encore.

Soient, en effet, S,, S,,... S/{,... les sommes des diverses séries partielles. Celles-ci sont absolument convergentes. Pour le montrer, remplaçons par des zéros les termes de la série totale s qui n'entrent pas dans S/j . La série modifiée demeure absolument convergente en vertu du théorème l. Comme on peut supprimer les termes nuls, elle se compose des mêmes termes que Sa et, comme l'ordre des termes est indifférent, les deux séries sont équivalentes.

Ceci posé, l'expression s — Sj — S^ — Sa peut par la règle

du n° 319 se réduire à une seule série en Un absolument convergente (II). L'ordre des termes étant arbitraire, on peut supprimer ceux qui se détruisent. On peut donc supposer k assez grand pour que cette expression ne contienne plus que des termes u d'indices >n. Donc, si n est choisi comme dans la démonstration précédente, le module de l'expression sera <£. Faisons tendre e vers zéro, on aura

s = Si + S2 + ••• + Sa + -', comme il fallait l'établir.

IV. Si deux séries s = ^iin et s' = Sm^ sont absolument convergentes^ la série Sm^ Uq qui contient tous les produits d'un terme de la

première par un ternie de la seconde rangés dans un ordre quelconque, est absolument convergevte et a pour somme ss'.

Je dis d'abord que cette série est absolument convergente. En effet, soit Hrp rq la série obtenue en remplaçant les u par leurs modules r. Sommons les N premiers termes de cette nouvelle série et soit [i le l)lus grand indice p ou q qui figure dans ces N termes. On aura

^rp r' < ^rp Sr^ .

Mais les facteurs du second membre restent finis, par hypothèse, quel que soit p. Donc la somme du premier membre reste finie, et, comme elle augmente avec N, elle converge. Donc la série '^Upu'^ est absolument convergente.

Il en résulte facilement qu'elle a pour somme ss'. En effet, on peut en vertu du théorème précédent additionner ses termes comme on veut. On peut donc faire figurer successivement dans la sonnne tous les termes des produits s„5„, puis Sn iri s' ,,-^,-i, etc.. et on obtient ainsi comme limite ss'.

321. Séries serai -converg-entes. — Une série peut converger sans être absolument convergente. On dit dans ce cas qu'elle est semi-convergente. Tandis que les séries absolument convergentes jouissent, comme on vient de le montrer, de propriétés qui les rapprociie des polynômes, il n'en est plus ainsi des séries semi-convergentes. Aussi leur emploi est beaucoup moins commode dans l'analyse.

L'étude de la convergence absolue se conlund avec celle de la convergence des séries à termes positifs. Ce sont donc celles-ci que nous examinerons pour commencer,

§ 2. Séries à termes positifs.

322. Règles de converg-ence ou de diverg-ence tirées de la comparaison des séries entre elles. — Lorsque tous les termes d'une série -«,( sont positifs (ou nuls), la somme s,t est croissante (ou slationnaire) quand n augmente. Il su Hit donc, j)Our que la série soit convergente, que s,i conserve une valeur finie. Cette circonstance permet d'obtenir des règles très importantes de convergence et de divergence par la comparaison des séries entre elles.

\. Si la série '^u,, est convergente (divergente) et si tous les termes

de la série I.Vn!>ont, à parli)- irun certain rany, plus petits (plus grands) que les termes de même rang de la série ^Un, la série I^Vusera également convergente (divergente).

En effet, soient s„ et s'n les sommes des n premiers termes de la série (m) et de la série [v). Comme on peut faire abstraction des termes ai: début des deux séries qui ne satisferaient pas à l'inégalité du théorème, on peut supposer qu'elle a lieu dès le début. Alors la somme s'n sera constamment inférieure (supérieure) à la somme s„, donc, si celle-ci reste finie (croît indéfiniment^ il en sera a fortiori de même pour s'n, ce qui prouve le théorème.

II. Si la série ^Un est convergente (divergente), la série I.Vn obtenue en multipliant respectivement chaque terme de la précédente par des facteurs positifs inférieurs (supérieurs) à un nombre positif A sera également convergente (divergente) .

Multiplier tous les termes de la série Ii«„ par un facteur fixe A, revient à multiplier chaque somme Sn par A ; donc cette multiplication laisse la série convergente (divergente). La série Ii'h ayant ses termes moindres (plus grands) que les termes correspondants de la série I.Xun sera donc aussi convergente (divergente).