III. Soient I.Un et I.Vn deux séries ; formons la différence
Un Vn
U/i-ri Vn±i
et supposons que cette différence finisse par devenir et rester définitivement nulle ou positive, à partir d'une valeur suffisamment grande de n : 1° Si la série ^.Vn converge, la série I.Un converge aussi ; 2° si la série "Lun diverge, la série Hv^ diverge aussi.
On a, en effet, par hypothèse, à partir d'une valeur suffisamment grande de n.
Un = Un-\-i = Un-\-2 = 'V^> Vn-Li ^ Vn-^2 ^"'
Soit p la valeur du premier quotient ; à partir de cette valeur de n, on aura «« < ?Vn et v„ > (1 : p) Un . Le théorème actuel est donc une conséquence des deux précédents.
323. Formation de séries convergentes et divergentes. — Toute fonction (f{x) qui augiïiente jusqu'à l'infini sans jamais décroître, peut servir à former deux séries à termes j)Ositifs, l'une divergente, l'autre convergente.
En effet, la série
(1) Smh=:S[cp(m4-1)-<p(«)] sera divergente, car la somme des n premiers termes est ^{n + 1) o{\) et augmente indéfiniment avec n.
Au contraire, la série
(2) ^'«H-sT-— "— ---î-.
Lcp(n — 1) (f{n).
sera convergente et aura pour somme 4 : cp(0).
Réciproquement, toute série peut aussi se mettre sous l'une des deux formes précédentes. En effet, si elle diverge, la somme Sn augmente à l'infini ; on a tin = «n — ^n i ; donc la série se mettra sous la forme (1) en posant fin = ^('0- Si la série converge, le reste Rn tend vers zéro ; on a Un = Rn-i — Rn ; on mettra donc la série sous la forme (2) en posant R^ = 1 : ©(«).
Voici une remarque qui se rattaclie immédiatement aux considérations précédentes :
Considérons une série divergente X;(.s'„ — s«-i). Multiplions son terme général parla quantité constamment et indéfiniment décroissante 4 : (V^n +V^«-i)' "ous obtenons la série encore divergente
Considérons une série convergente }C(R„ — R,i-i). Multiplions son terme général par la quantité constamment et infiniment croissante i : (VRn -1 +V'R„), nous obtenons la série encore convergente
s(vr;;i,-Vr;).
De là la conclusion importante que voici :
On peut toujours multiplier les termes successifs d'une série divergente (convergente) par des quantités qui tendent vers zéro (vers l'infinij sans altérer la divergence (la convergence).
Un procédé très général pour étudier la convergence ou la divergence d'une série, consiste à la comparer aux séries (1) et (2), construites avec des fonctions appropriées, et à appliquer les tbé jrèmes du no précédent.
Comme exemple, nous allons démontrer un tbéorème dont on trouvera la généralisation pins loin (n" 327). Mais, pour éviter toute complication, nous conviendrons de remplacer par l'unité le logarithme de tout nombre plus petit que la base du sjstème. Voici ce théorème :
