Théorème. — Les deux séries

sont divergentes. Au contraire, si a est positif, les deux séries

^"nH^' ^ nLogi+^/t

sont convergentes, quelque petit que soit a.

Formons d'abord les deux séries divergentes (1) du n» précédent qui correspondent aux deux fonctions (^{x) =^ Log x et (^(x) = liOg. Log x. Leurs termes généraux Un sont

Log(7t + 1) — Log n, Log. Log(n -\- \) — Log. Logn et ils se mettent par le théorème des accroissements finis sous la forme (0 < 8 < 1)

n + 6' (n + 0) hog{n -f 6) '

Donc les deux premières séries du tliéorème, ayant leurs termes respectivement plus grands, sont divergentes.

D'autre part, formons les deux séries convergentes (2) qui correspondent aux fonctions cp(x') -= x^-'^ et cp(a;) = Log+^x. Leurs termes généraux Un-i sont

[n — \)-^ — n-^, Log-'='(n — 1) — Log-»n et ils se ramènent i)ar la formule des accroissements finis à la forme

(„e)i-î-a' (7l 6)L0gi-î-=*(7l — 9)"

Les termes généraux des deux dernières séries du théorème se déduisent donc respectivement de ceux-ci en les multipliant respectivement par des facteurs < 4 : a. Donc ces séries sont aussi convergentes.

325. Critères de convergence. — Nous appellerons critère de convergence ou de divergence toute règle qui permet de décider de la convergence ou de la divergence d'une série par une propriété de son terme général, ou par une relation entre le terme général et un nombre limité de termes suivants.

l. Critère de Cauchy. — La série ^lun converge si l'expression

a une limite <1 pour n infini, ou, plus généralement, finit par rester inférieure à un nombre k < \ à partir d'une valeur suffisamment grande de n. Elle diverge si cette expression ne finit pas par devenir définitivement plus petite que Vunité.

En effet, dans la première hypothèse, les termes de la série deviennent inférieurs à ceux de même rang de la progression géométrique convergente HA" ; donc la série converge. Dans la seconde hypothèse, Un finit par être égal ou supérieur à l'unité. Le terme général n'ayant pas pour limite zéro, la série diverge.

Souvent le quotient Un : «»-;-i a une forme plus simple que n„ , alors, le critère précédent étant cependant applicable, il est souvent plus commode de se servir du suivant :

II. Critère de d'Alembert. — La série '^u^ converge si le quotient

Un

finit par rester inférieur à un nombre k < \ à partir d'une valeur suffisamment grande de n . Elle diverge, si ce quotient devient définitivement = ou > 1.

En effet, dans la première liypotlièse, on a, à partir d'un terme convenable Un ,

M„+i < kUn, Un^2 < k-Un,... Un+ p < k^Un.

Donc les termes de la série, commencée à ce terme, sont inférieurs à ceux de même rang de la progression géométrique convergente.

Un -f kUn-\ h kPUn H—

et la série converge.

Dans la seconde hypothèse, «„ cesse de décroître à partir d'un certain indice et, par conséquent, ne peut pas avoir pour limite zéro.

Il arrive souvent que le rapport Ji„j-i '• "h lend vers une limite déterminée k quand n tend vers l'inlini. La série sera convergente si k est < 1 et divergente si fr est > 1. Si A- = 1, on ne peut rien conclure et il faut recourir au critère suivant :

IIL La série ^lun sera convergente, si l'on peut poser, k désignant une constante > i,

Un+ 1 n

elle sera divergente, si l'on a, h désignant une constante quelconque,

Un = . , 1 , h

Un^i ^ n n' Considérons la série convergente (a positif)

" '^ uLog'-^'-^n

Dans celle-ci, on a

Vn

f \\fLog(n + l)y^' V'^nJV Lo-» y

]\lais on a par la formule des accroissements finis Log(7H- 1) = Log« + ^^-p-^.

\ Log/i y V (7i + 8)Log7iy "^ TîLogn'

s gardant une valeur finie quand ii tend vers l'infini. On a donc aussi, la signification générale de e restant la même.

l'nJ-i n nhogn

Si l'on a iin : Un^i > I 4- ^" : n et k > \, il viendra donc

Un Vn k—i £

«n-M Vn-î-i « ?iL0gn

Comme e reste fini et que k— 1 est positif, cette expression finit par devenir positive quand n tend vers l'infini. Donc la série ^Un est convergente comme St'n (n° 322).

D'autre part, considérons la série divergente

Vy ^ V 1 .

^ " 71 Log 71

Dans celle-ci, on a

1^ -fi I nLog(n + l) /- , IV-l I ^

Vn+i V "^ 7iy Log u A ^ nJ V "^ (71+ 0) Log w

Par conséquent,

i;„+i ^ n ^ (n-\rh)Logn

Si l'on a

M„xi < ' ^ 71 ^ 7l2

il viendra

Vn Un ^ 1 ^,

l'„a.l J<„^i (71 +9) Log 71 H^- 22

Cette expression tiiiit par devenir positive quand )i tend vers l'infini. Donc, la série Hvn étant divergente, Sw,i l'est aussi {n° 322).

Remarque. Les règles précédentes permettent de décider de la convergence ou de la divergence dans presque tous les cas qui se rencontrent en pratique. En effet, le quotient «„ • w»-;-i peut généralement se développer suivant les puissances de 1 .- ». On obtient alors un développement de la forme

îln+i n

où G conserve une valeur finie.

La série sera convergente si a > 1 ou si a = 1, ,3 > 1 ; divergente, si a< 1 ou sia--= 1, j3^ 1.

326. Théorème de Cauchy. — Soient f[x) une fonction positive et constamment décroissante et F{oc) une intégrale de f{x), la série

converge ou diverge suivant que F (a?) reste fini ou augmente indéfiniment quand x tend vers Vinfini.

Considérons en effet, la série suivante à termes positifs 2: [F (n + l)— F(w)]

qui est convergente ou divergente suivant l'hypothèse du théorème. Par le théorème des accroissements finis, son terme général se met sous la forme

Ce terme est > f{n -[- 1) et < f[n) ; donc, selon l'hypothèse du théorème, la série S f[n -\- 1) sera a fortiori convergente, ou la série - /"(n) a fortiori divergente. Le théorème est donc démontré.

327. Séries de Bertrand. — Bertrand a formé deux suites comprenant une infinité de séries, les unes convergentes, les autres divergentes, mais do plus en plus lentement.

Posons, en abrégé,

Lia; = Loga;, h„x = Log. L,ir, ... Li^^a-^^Log. L|x-ia:, ...

Les logarithmes successifs de x ainsi définis sont de plus en plus petits. Si X est donné, il y en a un premier hnX qui est négatif et les logarithmes suivants n'ont plus de sens. Mais, afin d'éviter toute difficulté dans ce qui suit, nous conviendrons d'attiilnior au symbole L^^x l'unité pour valeur, quand la définition précédente conduit à une valeur négative ou devient elle-même illusoire.

Tous ces logarithmes croissent constamment jusqu'à l'infini quand x

augmente indéfiniment, mais leur croissance est de plus en plus lente. Leurs dérivées s'obtiennent facilement. On a, de proche en proche,

,iVzi^ 1

'"■ " L[x— 1^ xLiXh„oo...Li^iX

Ces dérivées 5 ont donc des fonctions décroissantes. Ceci posé, voici le théorème de Bertrand :

Toutes les séries comprises dans la p7'e>nière suite : 1 1 1

sont divergentes; au contraire, toutes les séries comprises dans la seconde suite :

w(L,w)* + ^ n\j^n{h„n)^ + ^ nL^nh^n[h^n)^ + ^

sont convergentes, si a est positif, quelque petit qu^ sùi^.

Toute série de la première suite est de k ibrme SL'^^ (w). Sou terme général étant la dérivée d'une fonction qui croit à l'infini aveu n, cette série sera divergente, en vertu du tLéorème précédent.

Toute série de la seconde suite j eut se mettre sous la forme

Son terme général est donc la dérivée de la fonction

-t[La(^)r',

qui tend vers zéro quand n tend vers l'infini. Donc, en vertu du théorème de Cauchy, cette série est convergente.

328. Critères logarithmiques de Bertrand. — On peut déduire des séries de Bertrand dos critères de convergence, dont ceux du n° 325 ne sont que les cas particuliers les plus simples. Posons

L \xX En prenant les logaritlimes et en dérivant, on trouve

^\IJL^- l 1 1 1