X.jo; X \^x A^x '" l,j x

Il résulte de là que les deux fonctions À et À' d'indice quelconque sont croissantes, tandis que la fonction /.' : X est décroissante. On en conclut,

par le théorème des accroissements finis et pour une fonction X d'indice quelconque,

^ ' Aw In m

ht ^^'{n + n^, )/(n + e) X'n

W x^,,|i)--^ X(n+1)-^ X(n + 6) -^ ' In

De même, L étant une fonction croissante et L' : L une fonction décroissante,

Ceci posé, une série divergente quelconque de Bertrand est de la forme e<,i = H (Xn)-* . Donc, pour une série divergente, on a par la relation (1)

Une série convergente quelconque est de la forme (a>0)

On a donc pour une série convergente, par les relations (2) et (3),

«... <ri-^;^rïi-^^-"

2<,2j.i V hij V hi

et, en développant ces puissances par la formule du binôme, il vient, 6 désignant une quantité positive qui reste finie quand n tend vers l'infini,

De ces inégalités résulte la règle suivante :

U7ie séiie Si?„ sera divergente si Von a, à partir d'une valeur suffisamment grande de n,

"kitn n X,n '" X^-n

Vn-\.i ^[jiW n A,n Ajj^

Au contraire y elle sera convergente^ si Von a, p désignant une constante positive,

>i+-^-r-^=i+è-i-TV+...+A;t/

Supposons d'abord que la première hypothèse se vérifie ; donnons l'indice |jl à X dans l'inégalité (4) ; il vient

Donc, comme "Liin diverge, 5^r„ diverge aussi (n** 322.

Si c'est la seconde hypothèse qui a lieu, donnons à a une valeur < p et à À l'indice \x dans l'inégalité (5) ; il vient

Vn if^L- > ?~^ 6 f—^

Comme Ça'u : In)^ est de l'ordre de 1 : n''^, c'est le terme (p — a) : Xn qui est le terme principal du second membre de cette inégalité. Il finit donc par lui donner son signe qui est positif puisque p est > a. Donc, ^U)i étant convergente, Ir,i l'est aussi (n° 322).

Remarque, — Il peut se faire que l'on trouve une infinité de valeurs de n pour laquelle Vy^ ; v^^j^i vérifie la première inégalité et une infinité d'autres pour lesquelles ce rapport satisfait à la seconde. Dans ce cas, on ne peut rien conclure des critères de Bertrand, ils sont inapplicables. Il peut aussi arriver que, [j. étant donné, aucune des deux inégalités n'a lieu pour n assez grand. Dans ce cas le critère d'ordre (x est mis en défaut par manque de précision seulement et l'on peut espérer qu'il s'appliquera en donnant à u une valeur plus grande. Les critères de Bertrand ne sont évidemment applicables qu'aux séries dont les termes sont constamment décroissants. Il suffit donc de changer l'ordre des termes d'une série à laquelle les critères sont applicables pour les rendre inapplicables. Mais il est moins simple de former des séries pour lesquelles les critères seraient tous mis en défaut par manque de précision. Nous allons voir cependant tout à l'heure que la chose est possible (n° 331).

329. Degrés de convergence ou de divergence. — Pour apprécier la rapidité ou le degré de convergence ou de divergence d'une série, on établit la comparaison avec le mode de croissance d'une fonction. Si une série est divergente, la somme s^ est une fonction cp(n) infiniment grande; la rapidité de la divergence se caractérise par Vordre de grandeur de !p(w) pour H infini.

De même, si une série converge, le reste R^jCst une quantité infiniment petite. On posera R,^ = 1 : -^ (n), de sorte que 'f(n) sera infiniment grand. La rapidité de la convergence s'apprécie par l'ordre de grandeur de -f .

Réciproquement, comme on l'a montré au n" 323, toute fonction -i constamment et indéfiniment croissante peut servir à construire deux séries l'une divergente l'autre convergente, et dont la rapidité de divergence ou de convergence se caractérise par l'ordre de grandeur de cette fonction.

La notion d'ordre de grandeur est essentiellement relative, et le sens qu'il faut attacher aux définitions précédentes se réduit exactement à ce qui suit :

La rapidité de divergence (de convergence) de deux séries caractérisées par deux fonctions 'f j et -f, sera la même, si le rapport 'f , : «po reste compris entre deux limites finies et différentes de zéro. Cette rapidité sera plus grande pour la série (©g) que pour la série («i), si le quotient o^ : fg tend vers zéro.

II peut aussi arriver que le quotient csj : o^, sans être cependant borné, ne tende ni vers zéro ni vers l'infini ; dans ce cas, les ordres de grandeur de tfi et de cp., ne sont pas comparables et les degrés de convergence ou de divergence ne le sont pas non plus.

Ces définitions permettent d'énoncer le théorème suivant, dont la démonstration est si simple que nous laisserons au lecteur le soin de la faire lui-même :

Etant données deux séries divergentes (convergentes) Sw,j et Xw» , si le quotient u,i : Vn tend vers une limite finie et positive pour n infini, ou, plus généralement, reste compris entre deux nombres fixes différe7its de zéro, les deux séries divergent [convergent) avec la même rapidité. Si, au contraire, u,i : v^ tend vers Vinfini (vers zéro), la divergence (convergence) de la série "ïlunest plus rapide que celle de la seconde série.

330. Théorème de P. du Bois-Reymond. Impossibilité de construire une échelle complète de convergence ou de divergence. — Etant donnée

ti/''^^ suilt i^''>uii'-^ Lit ^ !i'::li<.:i6 ii'c ■■ :

foutes conf'^mmeni ei indéfiniment croissantes avec x, mais dont les ordres de grand'/ ent en dim.inuant, on peut définir

une fonctiuii •■ ■■ is d'un ordre de grandeur encore

moindre :e6 ae ta suite précédente.

Faisons croître x à partir de Xq ; on peut supposer toutes les fonctions positives, car on ne cliange pas leur ordre de grandeur par l'addition d'une constante. Posons, dans cette hypothèse, '^/j, =^ p -\- f^et considérons la suite de fonctions :

qui sont encore du même ordre de grandeur que les fonctions de même indice de la suite (1). Pour chaque valeur particulière de x, les termes de la suite (2) vont en croissant à l'infini avec ]). Il j a donc un terme minimum. Soit 'f la fonction égale à ce minimum pour chaque valeur de x. Cette fonction sera constamment croissante et de plus elle croîtra à l'infini, car elle surpassera ;> quand 'J^,, 'l>2-.. et '!^p-i surpasseront 'Ip . Enfin cette fonction sera d'ordre moins élevé qu'une fonction quelconque <{/;; . En effet, » est au plus égal à ^^^p-i-i par définition ; on a donc

lim 4-5 lim^^^O.

Corollaire. — En vertu du parallélisme que nous avons établi au n° précédent entre les séries et les fonctions, il est donc impossible de construire une suite illimitée de séries à coyivcrgences [ou à divergences) de plus en pins lentes, et telle qiœ toute série convergente (ot( divergente) dominée, dont le degré de convergence (ou de divergence) soit coynparable à ceux des tei^mes de la suite, converge [ou diverge) plus rapidement

qiCun terme de cette suite. C'est ce qu'on veut exprimer en disant qu'?7 est impossible de construire une échelle complète de convergence ou de divergence des séries.

Le théorème précédent sur les suites de fonctions appelle un complé ment, dont nous n'avons pas besoin pour le moment, mais qu'il importe de signaler :

Si, au lieu de décroître, les ordres de grandeur des fonctions de la suite (1) augmentent, on peut aussi construire une fonction cp d'un ordre plus élevé que toutes celles de cette suite.

Posons en général '\'p{x) = <fp{x) — cp^ [p). Remplaçons la suite (1) par la suite

Les termes de même indice dans (1) et (2') sont encore du même ordre de grandeur, mais, pour chaque valeur particulière de x, la suite (2') ne contient qu'un nombre limité de termes positifs. Donc il j a un terme maximum. Nous obtiendrons la fonction o demandée, en prenant tp égal à ce maximum pour chaque valeur de x.

331. Application aux séries de Bertrand. Mise en défaut des critères logarithmiques. — Les deux suites de Bertrand nous donnent l'exemple le plus classique d'une échelle de convergence ou de divergence. Les séries convergentes contiennent un paramètre a, mais, au point de vue qui nous occupe, il n'y a pas d'avantage à maintenir ce paramètre arbitraire et nous pouvons le faire égal à un. La généralité do l'échelle n'en est pas réduite, car chaque série convergente où a == 1 converge plus rapidement que toutes celles qui précèdent, a restant quelconque. 11 est donc possible, en vertu du théorème précédent, de construire des séries à convergence ou à divergence plus lentes que toutes celles de Bertrand.

On peut aussi construire des séries qui mettent en défaut tous les critères logarithmiques à la fois. Nous considérerons seulement le cas de la divergence, car celui de la convergence se traite de même.

Mettons la p'^^^ série de Bertrand sous la forme

^{un)p = S['fp W — fpin— 1)J et au moyen de la suite (pi, (fit'" ??,-•• construisons, comme au n" précédent, la suite '\i^, 'l'2,". '\'p,--- et la fonction «p. Je dis que la série divergente, qui a pour terme général

Vn = cp{w) — cp(n— 1),

mettra en défaut tous les critères logarithmiques. On a, en effet, les indices p, q, r dépendant de n, et puisque «p est le minimum des <\>,

?K) — 'f ('^ — 1) == l'p (»^) — 'K (^ — 1) > hi'^) — ^p (^ — 1).

cp(w + 1) — ? («) -= ir (n + 1) — '^p {n) < <{/p(w -f 1) — 4/p [n).

Par conséquent, Vn = '\'p jn) — '\>p [n — 1) ^ ^jjjn) — ^p(n — 1) ^ ^ m,. , ^n+l '^ 'l'jJ (»i -I- 1) — Ijp (*^) ?p (>i + 1) — ?p (»0 ^ ^^n-^i ^P

Or p augmente indéfiniment avec n. Donc v,j : Ui,4 i finit par surpasser constamment tCn : Un-\-i. pour toutes les séries de Bertrand. Donc tous les

critères logarithmiques, qui reviennent à la condition '^ > .

sont mis en défaut.

Cette conclusion a un intérêt considérable au point de vue philosopliique. Mais il ne faudrait pas en exagérer l'importance pratique. Les critères de Bertrand s'appliquent à toutes les séries qui se sont présentées naturellement dans l'analjse, soit immédiatement, soit après le partage de la série en plusieurs parties. Les autres séries ont été fabriquées artificiellement en vue du but à atteindre.

Exercices.

1. On considère une série divergente u^ + w^ ~\ — ^^ ^^^ fonction f{x) non croissante et tendant vers zéro pour œ infini. Soient s,i la somme des 71 premiers termes de la série et F{x) une intégrale de la fonction. On forme les deux séries

Montrer : que la première converge si F(.v) est bornée pour x infini ; que la seconde diverge si F{x) croît indéfiniment ; qu'elles convergent ou divergent en même temps si Un est borné.

R. Démonstration analogue à celle du théorème de Caucliy (n° 326).

2. Cas particuliers du théorème précédent : Si a est positif et h,i borné,

S— diverge, L — j^ converge.

3. On considère une série convergente iCi H- u„ -| — et une fonction f(x) qui augmente à l'infini sans décroître quand .'■ tend vers 0. Soient R/i = Uni- 1 -}-••• le reste de la série et F(.r) une intégrale de f{x) . On forme les deux séries

i:/-(R„)u„, ^r{Rn-i)i(n.

La première diverge si F{x) est infinie pour x = 0 ; la seconde converge si F{x) est bornée pour x = 0.

4. Cas particuliers du théorème précédent : Si a est {tositif,

S -^ diverge, ï '^j—r converge.

Kn Rn-1

5. Soit 'i{x) une fonction qui croît constamment jusqu'à l'infini avec a;. Quelque petit que soit l'ordre de grandeur de <i{x), on peut construire deux séries ïu,, et ïr„ , la première convergente, la seconde divergente, et telles que l'on ait r„ : u^ <. 'fC'O*

R. On forme les deux séries ayant pour termes généraux

Ces deux séries répondent à la question.

6. Si Un est constamment décroissant, la condition lim yiUa = 0 est nécessaire pour que la série '^Un soit couver§:ente. R. On considère l'inégalité

et on applique le caractère général de convergence.

§ 3. Séries semi-convergentes.

332. Théorème. — LorsqiCune série réelle est semi-convergente, les termes positifs iVune part et les termes négatifs changés de signe d'antre part, forment séparément deux séries divergentes à termes positifs.

Soient s„ la somme des n premiers termes de la série, s'n et — Sn respectivement les sommes des termes positifs et des termes négatifs

qui entrent dans Sn . On aura