I II

Sn = S)i S)i .

Soit '^n Ifi somme des valeurs absolues des termes de Sn , on aura aussi

^» = Sn 4- Sn .

Quand n tend vers l'infini, s„ conserve une valeur finie, car la série proposée est convergente par hypothèse, et a„ tend vers l'infini car la convergence n'est pas absolue. Donc les deux sommes s'n et s'ù tendent vers l'infini et c'est ce qu'énonce le théorème.

333. Théorème. — Lorsqu'une série à termes complexes est semiconvergente, la série des parties réelles est convergente ainsi que la série des parties imaginaires, jnais l'une d'elles au moins est semiconvergente.

Considérons la série de quantités complexes

La série Su» tendant vers une limite A -f Bi, les séries Sa« et I,bn tendent vers A et vers B et sont convergentes. On a donc Su» = Sa„ + il.bn .

Si les deux séries S | a» j et i'^ \ bn \ étaient absolument conver-

gentes, leur somme le serait aussi (n» 319, II). Donc l'une de ces deux séries doit être semi-convergente.

334. Théorème. — Une série s = aj — ^2 -h ay — ... dont les termes sont réels et alternativement positifs et négatifs, converge si ces termes vont co7istamment en décroissant en valeur absolue et ont pour limite zéro. Le reste de la série est de même signe et moindre en valeur absolue que le premier terme négligé.

On a, en effet,

Sin = («1 — ^2) + («3 — «4) H h («2»-! — ^-zn)

S-in+i. = «1 — («2 — ^3) [y-2n — aanhi)

Toutes les différences entre parenthèses sont positives. Donc s^n est une somme croissante et .s'2?!fi une somme décroissante. Leur différence tend vers zéro. Donc elles tendent toutes deux vers la même limite et celte limite est intermédiaire entre les sommes paires et les sommes impaires. Appliquons cette conclusion à la série

R,j = ± [a„j.i — a„4.2 -f- a,iX3 -\ ] ;

on voit que R» a le signe de son premier terme et est moindre que lui en valeur absolue.

335. Théorème. — Soient s = u^ -\- u^ +... + Un +••• w^îe série convergente à termes réels ou conpleœes, Sn la somme de ses n premiers termes et S une limite supérieure île | s,; | . Soient ensuite aj, a;,... «n,... une suite de qicantités positives décroissantes, ayant par conséquent une liynite a, la série

a = aj ?<j + 22 u^ +...+ a„w,i +...

converge et a une somme j de modvXe moindre que Sa,,

Soit ff„ la somme des n premiers termes de cette dernière série. On a, paisque Un = 5^ — s^-i,

'^n =«1 ^'i + («2 — Sj) «1 +•••+ {^n — Sn-i) ^n

et on en tire

^n — Sn^n = «i («i —«2) -\- Sii^Z — ^) +-..4- 5„ (a» , — a,, )

Quand n tend vers l'infini, le second membre de cette équation a une limite déterminée, car la série qui a pour terme général 5,, {a„, — a„) est absolument convergente. Celle-ci a, en effet, des termes de modules moindres que les termes correspondants de la série positive convergente

S (a, - ^2) + S («2 — «s) -f .-.= S {^x -a2 + «2-«3-t-.-) =S(a, -a). Donc ff„ — s„ a„ a une limite déterminée et le module de cette limite sera < S (a, — a).

Comme, d'autre part, 5„ a,, tend vers sa, a^j tend vers une limite déterminée t et l'on a

J a I < I 5a I + S (aj — a) < Sa + S (a, — a) = Sa,.

Reynarque. — La convergence de la série (7) subsiste même quand 'Lun diverge, pourvu : 1° quf^ | s,i \ ait toujours une limite supérieure S, 2^ que a,j ait pour limite 0.

En effet, la différence ■^n — 5„ a„ a une limite déterminée comme dans le cas précédent. Ensuite | s^ oi,i \ qui est < Sa a pour limite 0 (même si 5,; ne converge pas) . Donc (j,i a une limite déterminée 7.

336. Théorème. — La somme d'une série semi-convergente à termes réels, dépend de l'ordre de ces termes. En modifiant cet ordre, on peut faire tendre la série vers le nombre que Von veut.

Formons deux séries l'une avec termes positifs et l'autre avec les termes négatifs do la série proposée. Supposons que ces séries [a] et [b] soient

{a) ai+«2 + «3+ +«,(+...,

Ces deux séries sont divergentes (n° 332) et a,^ ainsi que b„ ont pour limite zéro quand n tend vers l'infini.

Ceci posé, nous allons montrer qu'on peut intercaler les termes négatifs entre les termes positifs, de manière à former une série ajant pour somme un nombre quelconque, par exemple un nombre positif M.

A cet effet, prenons dans la série positive le nombre de termes strictement nécessaires pour que leur somme surpasse M, ajoutons ensuite des termes négatifs jusqu'à ce que la somme soit ramenée en-dessous de M, puis des termes positifs jusqu'à ce que la somme surpasse de nouveau M, et ainsi de suite, sans jamais prendre plus de termes qu'il ne faut. On alternera ainsi indéfiniment les termes positifs et les termes négatifs, car les deux séries sont infinies, et, par conséquent, tous les termes des deux séries seront employés. Je dis que la nouvelle série (c) ainsi formée a pour somme M,

En effet, considérons la différence s^^ — M entre M et la somme des m premiers termes de la série (c). Cette différence change un nombre infini de fois de signe. Si elle est positive, elle est inférieure au dernier terme «„ qui y entre, et si elle est négative, au dernier terme b,, . Donc cette somme tend vers zéro, car On et i,< tendent vers zéro quand le nombre des termes pris dans chacune des séries (a) ou {b) augmente indéfiniment.

Remarque. — Si la série semi- convergente est à termes complexes, sa partie réelle ou sa partie imaginaire est semi-convergente (n"333).Ûn pourra donc modifier l'ordre des termes de manière à donner une valeur arbitraire soit à sa partie réelle soit à sa partie imaginaire.

337. Multiplication. — Soient s = Sm^ et s' ^ Su,i deux séries convergentes à termes réels ou complexes, dont la première au moins soit absolument convergente. Formons la série s" = Str^ dont le terme général

renferme toutes les combinaisons de deux indices dont la somtne est {n ■\~ 1). Cette série converge et a pour somme ss' .

Désignons par r^ le module de u,i , la série Sr,j sera convergente par hypothèse et aura une somme finie a. Soient respectivement s„ , 5„, s„ et CT» les sommes des w premiers termes de chacune des séries [u], {v),{w) et (r).

Considérons la différence s^ s^i — s^. On peut la mettre sous la forme

U^Vn + «3 K-i -f Vn) ■]-...+ Un K + ^^3 +---4- ^n) ^ U^ {Sn — Sn - i) 4- Wg {s'n — S„ «) + . . . + M„ [Sn — Si)

Soit n = p -{- q une décomposition de n en deux parties. Nous pouvons partager la somme précédente en deux parties correspondantes, que nous écrirons chacune sur une ligne

U„ {Sn — Sn ~ l) + ^h («H —S>i-2) + . • . + Up\- 1 [Sn — Sq ) + Up + o [s'n — Sq i) -]-... ...+ ^^« (Sn — si).

On peut supposer q assez grand pour que toutes les parenthèses de la première ligne aient leur module moindre qu'un nombre donné e si petit qu'il soit. Alors la somme de la première ligne a son module moindre que

- (^'2 + *'3 +•••+ ^> + i) < ^<^iJ-'ri< £»

Cette somme est donc aussi petite qu'on veut avec e.

Les parenthèses de la seconde ligne ont leurs modules moindres qu'un nombre fixe A, car la série (?') est convergente. La somme de hi seconde ligne a donc son module moindre que

A (rjj+2 -h rp^3 +...+ »>f ç) < ^{^p-'rQ — '^p) Cette somme a donc pour limite zéro quand p tend vers l'infini. En résumé, la différence s,i Sn — s» se compose de deux parties qui

ont pour limite zéro quand p bt q tendent vers l'infini. Comme on peut

faire tendre p et q vers l'infini avec n, il vient donc

lim s,i = lim s,i S)i = SS .

Reynarque. — Le théorème précédent ne subsiste pas en général quand les deux séries ^tin et )ùv„ sont semi-convergentes. Toutefois, si la série Hk',, converge, elle a encore pour somme le produit des deux précédentes comme on le montrera plus loin (n°-^ffi).

§ 4. Séries de fonctions.

338. Convergence uniforme. — Considérons d'abord une série réelle

i' = Ml +«2 H hMn+-

dont les termes sont des fonctions d'une variable réelle .r. Si la série converge pour toutes les valeurs de x dans l'intervalle {a, b), la somme s de la série sera une fonction de x.

Soit z un nombre positif donné aussi petit que l'on veut. Pour cliaque valeur déterminée de a-, la condition

(1) \S-Sn\<t

se vérifiera pour tous les indices n supérieurs à un nombre fixe N, car cette condition sert de définition à s. Mais, si on laisse x variable, il peut se faire que ce nombre N dépende nécessairement de x.

Si, quelque ijetit que soit z, la condition (1) peut se vérifier pour tous les indices n supérietirs à un nombre N indépendant de x et pour toutes les valeurs de x dans l'intervalle (a, b), on dit que la série converge uniformément dans cet intervalle.

Cette définition s'étend d'elle-même au cas où les termes de la série seraient des fonctions de plusieurs variables x,y, ... Si l'on peut attribuer à ces variables une infinité de systèmes de valeurs différents, on dira que la convergence est uniforme, si la condition (1) se vérifie à la fois pour tous les systèmes admissibles de valeurs, quand l'indice n est supérieur à un nombre N indépendant des variables.

Enfin, les termes de la série peuvent aussi être fonctions d'une variable complexe ::• et nous entendons par là que ces termes ont des valeurs déterminées pour chaque valeur de z. Supposons que la série converge pour un système déterminé de valeurs de v en nombre infini, par exemple pour toutes les valeurs comprises dans un cercle, on dira que la convergence est uniforme, si la condition (1) a lieu à partir d'un nombre X indépendant de z.

339. Exemples de séries à convergence non-uniforme. — On peut former facilement des séries qui convergent pour toutes les valeurs de X dans un certain intervalle, mais non uniformément. En voici deux exemples remarquables :

I. Considérons d'abord la progression géométrique de raison (1 — x)

s = x-{-x{\—x)-\-x[\— xf H 1- ^' (1 — ^)" + -

Cette progression converge })oui' toutes les valeurs de a; dans l'intervalle (0, 1). Si x est > 0, la raison est plus petite que 1 et la progression a pour somme l'unité. Si x = 0, tous les termes sont nuls et la série a pour somme zéro. Donc s est une fonction discontinue de X, car s passe de 0 à 1, quand x passe de 0 à une valeur positive si petite qu'elle soit.

Cette série n'est pas uniformément convergente.

En eflet, pour les valeurs positives de x, on a R,, = ^- (1 - X)" [1 + (1 - X) + (1 - .r)-^ + ...] = (1 - ^')« .

Donc, si n est constant, on a, quel que soit n,

lim R„ - 1.

Il est donc impossible de satisfaire à la condition R,, < s < 1 pour une valeur de n indépendante de x.