II. Considérons, en second lieu, la série

co n=i

On a, pour toute valeur positive de x,

n^ s,j = xn^e-^^^, d'où s = x lim -^ -= 0,

car une exponentielle est infiniment grande par rapport à une puissance.

Pour X == 0, on a s» = 0 et s = 0.

Donc la série converge et l'on a s = 0 pour toute valeur nulle ou positive de x. Mais cette série ne converge pas uniformément. En effet,

±\)i ^^^^ " — S)i =^ julï o •

Si l'on pose x = \ : n, x tend vers 0 quand n tend vers l'infini et le reste pris en valeur absolue

augmente indéfiniment avec n. Donc la convergence ne peut être uniforme dans un intervalle (0, b) comprenant le point 0.

340. Théorème. — La série de fonctions //, + m, + ••• h u„-\- •■• sera uniformémoit coiivertioile si les modules de ses ter7nes ne peuvent jamais surpasser les termes de même rang d'une série convergente à termes constants et positifs.

U est clair que, dans ce cas, le reste de la série de fonctions a un

module moindre que le reste de la série à termes constants. Le reste Rn de celle-ci peut être supposé < s. Donc, en prenant n termes ou davantage dans la série de fonctions, le reste aura son module également < s. Donc la série converge uniformément.

34 1 . Propriétés de^ séries uniformément convergentes, — 1 . Si les termes d'une série uniformément convergente sont des fonctions continues, la somme de la série est une fonction continue.

Posons s = Sn -{- R>i et désignons par \s, As,, et AR,i les accroissements de ces trois quantités pour un système déterminé d'accroissements de la ou des variables. On aura

^s = ^sn + aRh = ^sn -h (R» + ar„ ) — r,, .

Nous allons montrer que les trois termes dans lesquels on a décomposé ^s peuvent être supposés aussi petits qu'on veut avec les accroissements des variables. En effet, la convergence étant uniforme, on peut prendre u assez grand pour que les deux restes | R„ | et I Rn+ AR„ I soient plus petits qu'unnombrepositif s donné d'avance si petit qu'il soit. Cela fait, s„ , qui est la somme d'un nombre limité de fonctions continues, est une fonction continue. Donc on peut rendre sa variation absolue < e, en rendant celles des variables suffisamment petites. Donc, la variation | As | sera < 3 e, quantité arbitrairement petite. Donc s est une fonction continue.

Quand la convergence n'est pas uniforme, la continuité de la somme n'est pas une conséquence de celle des termes de la série. Nous en avons vu la preuve au n° 339 par un exemple très simple :

II. .Si les termes d'une série réelle, uniformémeut convergente, sont des fonctions intégrables d'une variable réelle x dans l'intervalle (a, bj, la somme de la série est elle-même intégrable et son intégrale peut s'obtenir par décomposition, en intégrant chaque ternie de la série.

Considérons, en effet, la série

s -= M, + Ma H h If'H -h ••• == Sn + R„ ,

on aura

s dx ^ s,idx -\- R,idx.

J(( Je Jn

Faisons tendre n vers l'infini ; la convergence étant uniforme,

I Rn I devient inférieur à tout nombre positif e si petit qu'il soit, quand n tend vers l'infini. Or, on a, dans ce cas,

Rndx

Cette intégrale tend donc vers zéro quand 71 tend vers l'infini. Il vient ainsi

s dx =- lini Sndx =^ u^ dx -h u^ dx

Ja n=cc Jn Ja Ja

Quand la convergence n'est pas uniforme, l'intégration terme à terme n'est plus légitime. Nous allons le montrer par un exemple. Reprenons la série, considérée précédemment (n° 339),

dans laquelle x est nul ou positif. On a évidemment

ps dx = 0.

Mais l'intégration terme à terme conduit à un résultat diff'érent du précédent. On a, en effet,

Sn = X «2^»^ Si l'on intègre terme à terme, la série obtenue aura pour somme

lim Sndx=\m nx e-^'^ ndx = te~'dt=\,

n=oo Jo Jo Jo

tandis que l'intégrale de s est nulle.

III. Si les termes cVune série convergente sont des fonctions d'une variable réelle x ayant des dérivées continues, et si la série de ces dérivées converge uniformément dans un intervalle fa, b), la somme de la série des dérivées est la dérivée de la somme de la série primitive.

Soient en eflét s = Swn la série primitive et <i = Sul, la série dérivée. Faisons varier x de a à b, on aura, en vertu du théorème précédent,

ï (/a- = i: u„ dx = 'L [u„ — [Un )«],

l'indice a signifiant qu'il faut faire x =^ a dans la fonction entre parenthèses. Comme la série primitive converge par hypothèse, le résultat précédent peut se mettre sous la forme

\ 'zdx = ^Un — - [Un )« = S — («)a,

et, en égalant les dérivées des deux membres par rapport à x, on trouve 7 = s' comme le veut le théorème.

342. Fonction continue de Weierstrass : 1° sans dérivée ; 2° ayant une infinité de maxima et de minima dans tout intervalle ; 3° n'étant à variation bornée dans aucun intervalle — Les séries uniformément convergentes conservent quelques-unes des propriétés des sommes d'un nombre limité de termes. Mais il ne faut pas généraliser cette conclusion. Considérons, en effet, la fonction de \Yeierstrass

o OÙ a est un nombre positif < l et b un entier impair > 1. Cette série converge uniformément, car ses termes no surpassent pas ceux de même rang dans la progression convergente Hft'' . Si ab est < 1, F[œ) a pour dérivée la série

F'(a;) = — - 2 [abyssin b'^r.x,

car cette nouvelle série converge uniformément.

1° Si ab surpasse une certaine limiie que nous allons incliquer, ¥{x) na plus de dérivée (Weierstrass).

Soit a^ l'entier le plus voisin de b'^ x et ç;j une fraction comprise entre — 4" 6^- + 4 I on peut écrire

Posons, e^ désignant -f 1 ou — là volonté,

b^ {x -\- h) = 'J-h -\- Ch , d'où h

h aura le signe de ej^ et son module sera compris entre 1 : 2b^ et 3 : 2b'^ Donc h tend vers zéro si k tend vers l'infini. Considérons maintenant la différence

Y[x -\-h) — 'F\x)^:L a» [cos b'^ r. [x + /<) — cos è" - x] o

= — - S a'* b'^ sin [b^-t) dt ;

nous allons la décomposer en deux parties S^ et R^ en sommant séparément les k premiers termes puis les termes suivants.

Cliaque intégrale de x k x \- h ayant son module moindre que celui de h, on aura

I Sa I < - I A 1 ,l fl^*-l-«26-2+...+ a^-n^'^)< I h I -^- («*)*. On a, d'autre part,

R/i = X rt'* [cos b^~[x-\- h) — cos i" -x].

On a, dans cette somme, b et C/^ étant impairs,

COS Ô« (a; + ;?) 71 =-- COS J"-^ ( a/i + e/f ) t: = (— 1)'''* "'' '

oos b" X- = COS &"-'* (c//, + ^ft ) TT = (— 1)^'' COS b^^-f^kfiT.. Il vient donc

■ R;^ = ( lyH -I- ' V ^'/* (1 ^ COS è"-'*^;, tt).

Toutes les parenthèses étant positives, le second membre aie signe de ( — 1)^^ • ^ et une valeur absolue plus grande que son premier terme. Donc, |j. désignant un nombre > 1, on peut écrire

Ih = (- 1)''' '^' ' P- a'^ = (- 1)"^ ■" ' [J- h ^ '

Enfin 7/ a le signe de €>, et un module moindre que 3 : 26'* , on peut encore écrire, \). étant un nouveau nombre > 1,

^.^,^{-1)"'^-'' enh'^l.{ab)K

Si l'on a donc