T + oT
- 1 M i (Jli S 6<> ? ^
Lorsque n croît indéfiniment, la partie positive a pour limite e ; la parenthèse conservant une valeur inférieure à e, le produit
(\o cette expression par ^ tend vers zéro. On a donc
/ l \ n lim ( 1 | ) = e, pour n ==oo.
19. Supposons ensuite que n prenne des valeurs positives quelconques. Si une valeur est comprise entre les entiers m et m | 1, on a
à plus forte raison
Or, lorsque n croît indéfiniment, il en est de même des nombres m et m | 1» et les deux quantités
ont i)onr limite le nombre e ; par suite, l'expression 1 4-
comprise entre ces quantités, a la même limite e.
Enfin, si n est négatif et croît indéfiniment en valeur absolue, on trouve la même limite. Car soit n = — ni: alors
ny \ mj m — \ \ m—\ m— 1/
et en passant a la limite pour m = -j- °° > on trouve
1 'Yn 1 « 1 n
lim 1-4- = c. d'où lim 1-1 — —e .
n} -\J K nj
Remarque. — Si Ton pose n = -> on obtient
î lim (1 -f- y)J' = c, pour lim % = 0.
Logarithmes népériens.
20. On sait qu'un système de logarithmes est défini au moyen de deux progressions, l'une géométrique, l'autre arithmétique, qui se correspondent terme à terme et dans lesquelles 1 et 0 sont des ternies correspondants : les nombres de la seconde
progression sont appelés les logarithmes des nombres homologues de la première.
Supposons qu'on parte des progressions
où a > 1 , b > 0. Pour donner à tout nombre positif un logarithme, on élargit les progressions (I) en insérant entre deux termes consécutifs respectivement m moyens proportionnels et m moyens différentiels, m pouvant être aussi grand qu'on vent ; on obtient ainsi deux nouvelles progressions que nous représentons par
et que nous substituons aux progressions initiales (I).
A mesure que m croît, les nombres a et 3 décroissent et tendent
vers zéro ; mais le rapport [ tend vers une limite déterminée
M, qu'on appelle le module absolu du système de logarithmes défini par les progressions (1).
Si Ton remplace p par Ma, les suites (II) prennent la forme
...,(l +«)-*, (1+*)-1, 1, l + «, (l'+«)8, ... ) (nn
...,— 2Ma, — Ma, 0, Ma, 2Ma, ... \ '
et Ton pourra dire que les logarithmes à module M sont les limites de ceux qui résultent des progressions (III) lorsque a tend vers zéro.
On appelle logarithmes népériens ou hyperboliques, les logarithmes (jui ont pour module absolu 1. Ils sont définis par les progressions
...,(l+a)-2, (1 +«)-!, 1, 14"«, U+*)2,...J flV)
pourvu ({ne a tende vers zéro.
La base d'un système de logarithmes est le nombre qui a pour logarithme l'unité; donc si (1 + a)n est la base des logarithmes
NëUBERGj An. inf\, i x
définis par les progressions (IV , on doit avoir iw. — ], d'où
a= • Celte base a donc pour expression ( 1 +- J . Pour avoir
les logarithmes népériens, il faut l'aire tendre a vers 0 ou l'aire croître indéfiniment n. Doue, la base des logarithmes népériens
1 N " est la limite de V expression 1 + I pour n = oo, ou le nombre e (18 .
Il existe un rapport constant M entre les logarithmes d'un même nombre (1 -f- «)p pris successivement dans les deux systèmes qui sont définis par les progressions (III) on (IV). Cette conclusion étant indépendante de la grandeur de a subsiste aussi a la limite ; donc, on passe des logarithmes népériens aux logarithmes à module M en multipliant les premiers pur M.
Désignons par la caractéristique / un logarithme népérien, et par la notation log un logarithme pris dans le système à module M ; nous aurons, quel que soit le nombre .v,
log x Mlx, Ix = log x -. •
Prenons pour x successivement e et la base n du second système ; alors
log x . 1
M - p log e « - •
Ainsi, /e module absolu d'un système est égal à l'inverse du logarithme népérien de la buse, ou égal au logarithme de e pris
dans ee système.
Quand il s'agit des logarithmes vulgaires, on a
Exercices et notes.
