On a vu (8) que la série - 1+ï + rW

1 n 1.2 ' 1.2.3 ' ' 1 .2 ... 72 est convergente. Sa somme est représentée par e. Posons

de sorte que e = en H- r„. On a

(m 4-1)! [ ' n h 2 ' (h + 2)2 '• [n-{-2)* d'où, en sommant la progression entre crochets :

et en désignant par 0 un nombre plus petit que 1

?n== 1.2.7. n(îi+ ïy '

Si Ton fait /i = 2, on trouve 1 1

il en résulte que e est compris entre 2, bel 2, 75.

-*- lo —

Le nombre c est incommensurable. Eïi effet, c n'est pas^ent-ler;

s'il pouvait être égal à la fraction irréductible , on aurait

d'où, en multipliant les deux membres par ;j !,

.V et B étant des nombres entiers ; le nombre entier A — B serait

n 4- 2 donc égal a la quantité , -. 0 qui est plus petite que 1.

Calcul de e. — Faisons la somme

en = l + i + ] .2"^ •••+ 1.2." 11

en prenant chaque ternie avec 9 décimales:

0, 0OO 000 275

Cette valeur de cu est exacte à moins de 0 unités du 9e ordre, puisque les neuf derniers termes ont été limités à 9 décimales. Ensuite, les termes négligés de la série c ont pour somme

ru = j~ *? 0 < 0, 000 000 025 ... X -^ < 0, 000 000 003.

Par suite, e est plus grand (pie 2,718281821 et plus petit que ce nombre augmenté de 9 | 3 unités du 9e ordre. 11 en résulte :

avec une erreur par défaut moindre qu'une demi-unité décimale

du 7e ordre.

Limite de ( 1 + quand h croît indéfiniment.

16. Lemme. — a, b, e, ... 1 etnnl des nombres positifs moindres (jne l'unité, le produit

inférieur à l'unité, surpasse 1 — (n [- b -|- ... -h 1). On suppose la somme a \- b 4- ••• 4- f <C U sans quoi la proposition est évidente. Dans le cas de deux facteurs, on a

(1 —a){\ — b) =1 -(a [-//) -f ai;

et comme nb est une quantité positive :

(L— a)([ — ft) > 1 —(a 4- *)•

Multiplions cette égalité par la quantité positive (l — c)

(l a)(l— ft)(l -c) >[1 (a4-ô;](| — c)-;

or, d'après ee qui vient d'être démontré,

doue, à plus forte raison

Et ainsi de suite.