Soit à chercher le minimum d'une fonction

u = F(a?,, ... a?,n, .rin k , ••• a?i„+i,) (1)

de m -f- iî variables lices entre elles par m équations de condition

fm ^i> • • ^"nij ^ni+lj ■•• ^m-j-ii;

La valeur cherchée de u prend le nom de maximum ou minimum relatif, par opposition au maximum ou minimum absolu qui ne suppose pas d'équation de condition.

Si l'on tirait de (2) les valeurs de xlt .v.,, ..., xM pour les porter dans l'équation (1), u deviendrait une fonction de n variables indépendantes xm+lt . . xm\-n, et la différentielle totale de la nouvelle expression de u devrait être identiquement nulle.

On peut calculer cette différentielle sans faire les éliminations

indiquées. Car de (1) et (2) on déduit, /) étant mis pour m j- n,

i dF i , i dF ;i ()F i /<*

du = ~ dxx + . . . + ^ **» + ...+ d^ , (3)

A ^?1 7 1 ! ^?1 7 I I <tyl 7

0 = ^ rfr' + - + ùXmdx<» + - + ta.**»