r"' dœ1 H- ... + T^'" dxm -f ... + y'" fltep

dr, r).rm cb?p

Tirons, des équations (4), les valeurs de dx\, dxz, ... dxm pour les substituer dans l'équation (3) ; le résultat aura la l'orme

du =-- kYdxm |j + k.2dxm | ., + ... -f Anflfcp.

Les valeurs cherchées de a'j, a.,, ... xp devront vérifier les

équations

auxquelles on joindra les équations (2).

L'élimination des différentielles dxx, ... dxm se fait également par la méthode des multiplicateurs indéterminés. En effet, ajoutons à l'équation :3) les équations (4) multipliées respectivement par des facteurs indéterminés Xl5 À.,, ... Xmj et choisissons ceux-ci de manière que dans la nouvelle expression de du les termes en dx\, . . dxm disparaissent; le maximum ou le minimum exigent que les coefficients de dxm-\, dxp dans l'expression de du s'annulent. Nous aurons ainsi les équations :

, + Ai , -4- *2 iir + ••• + '-.n , - - = 0,

<)j\ OJ'i ôxx oxl

— -4 ) ')?1 U ^ 4- 4-) r)'rm -0

dxt + l ùx2 "*" 2 dr2 4" - -t- A- t)a?8 - - u, (5)

dF , cb, d©2 ^cpm

Les équations (2) et (5) serviront à déterminer les inconnues auxiliaires Xf, X2, ... Àm et les valeurs demandées de a,, ... xm+n.

168. Remarques. — I. Les équations (5) conduisent à la règle suivante :

Pour trouver le maximum ou le minimum d'une fonction F de ni + n variables liées par ni équations de condition

rj>i = Oj ç>2 ==s Oj ••• <pm === ^>

on exprime que la fonction auxiliaire

F + Vfi + Kfi + ••• +*m?m jiasse par un maximum ou un minimum absolu. On obtient ainsi m -f- n équations que l'on joindra aux équations de condition.

II. Pour voir si une solution des équations (2) et (5) correspond à un maximum ou à un minimum il faudrait étudier le signe de d2u. La nature du problème rend souvent cette étude inutile.

169. Cas général des fonctions implicites. — Pour fixer les idées, considérons le système d'équations

f[x, y, z, t, u) = 0, fx[x, y, z, t, u) = 0, f,(x, y, z, t, u) — 0,

et proposons-nous de déterminer le maximum ou leminimum de u . Si l'on éliminait „y et y, il resterait une équation ¥(z, t, u) = 0, d'où l'on tirerait une valeur de du de la forme

du = kdz -f Bdl,

et l'on poserait, pour le maximum ou le minimum de u, A = 0 et B — 0. Mais on peut obtenir la différentielle du en éliminant dx et dy entre les équations

dx dy ôz dt du

f dx + f dy + f dz + f d( + f du 0,

dx dy J dz dû du

f dx + f dy + f dz + f di + f du = o.

dx dy dz dt du

Pour cela, ajoutons ces trois équations après avoir multiplié les deux dernières par les indéterminées Xt, X2, et exprimons que dans le résultat les coefficients de dx et de dy sont nuls.

Pour le maximum ou le minimum, les coefficients de dz et de dt devront être nuls; donc on a définitivement :

àl + X dJl + X dù o

dx l dx z dx

*1 + X d-f-i 4- > dCt - n dl + > tÙ + ) dJt - o

du du du

0:i joindra ces équations aux égalités f= 0, f\ — 0, /*, = 0.

170. Exemples. — I. Déterminer les axes de la section faite dans un ellipsoïde, par un plan diamétral donné. L'ellipsoïde et le plan diamétral ont pour équations

rz ?/J *i

Un demi-axe de la section étant la distance maximum ou minimum du centre à un point de la courbe, la question revient à chercher le maximum ou le minimum de la fonction

où A*, y, z satisfont aux équations (l) et (2). Eu différentiant on trouve

'''. dx -f ■' du -f % ds = 0,

%dx } %dy -|- ydz = 0, ."'v/,>; -j- ydy -f- Sûfe — Moftt.

Ajoutons ces équations après avoir multiplié les deux premières par des indéterminées À, ;j.; dans l'expression ainsi obtenue pour udu, nous égalons à zéro les coefficients de dx et de dy, à l'effet d'éliminer ces différentielles. La condition de maximum ou minimum étant du = 0, le coefficient de dz doit également s'annuler. Nous aurons ainsi le système

, -f- fxa -f x

0, ^ 4- rf + y = 0, -£ 4- R + s == 0. (4)

Si l'on combine par addition les équations (4), après multiplication par x, y, Z et que Ton ait égard aux relations (1), (2), (3), on trouve À ~|- u- = 0. Remplaçant À par - u- dans les égalités (4) et résolvant ensuite par rapport à x, y, z, on obtient

c.-ay u2 — c-

Ces valeurs étant substituées dans l'égalité (2), on trouve

- loi -

Cette équation bicarrée détermine les demi-axes de la section.

171. II. Trouver, dnns le plan d'un triangle donné ABC, un point K dont la somme des carrés des distances aux côtés du triangle soit un minimum.

Soient x> y, z ces distances, et- a, b, c, S les côtés et l'aire du triangle ; il faut chercher le minimum de

sous la condition

2S = ctx -f by + cz. (2)

En différenciant ces équations, on trouve

itdu = xdx -f- ydy -\- zdz , (3)

0 = adx + bdy + cdz. (4)

La méthode des multiplicateurs indéterminés donne ensuite

x — aX = 0, y — 6X = 0, xr — cX = 0 ; (5)

d'où - -= \ = - = X. (G)

Le point cherché jouit donc de la propriété que ses distances aux côtés du triangle sont proportionnelles aux longueurs de ces côtés.

Si l'on remplace x, y, z par aX, [>X, cl, les égalités (1) et (2) deviennent

u* = X2(a2 -f è2 -f c2), 2S = X(ft2 + b- |- c*).

On a donc

2S 2Sa 0 4S2

07= — — : — rr — : r-> ..., W

Soit ABC le triangle formé par les tangentes menées en A, B, C au cercle circonscrit au triangle ABC ; les droites A A', BB', CC (symédianes de ABC) se coupent au point K {centre des symédianes ou point de Lemoine).

L'existence d'un minimum de u est évidente. D'ailleurs, si on différentie les égalités (-3; et (4) en considérant x, y comme variables indépendantes et z comme fonction de .v, y, on trouve, à cause de du = 0,

iul-ii — dxz 4 dy~ 4 dz~ 4 ~dzz< 0 — cd2z,

de sorte que d~u > 0.

On peut traiter le même problème en s'appuyant sur l'identité (oc- + y" + ^) (cr + 62 | C2) = (aaj + hy + w)« | ^ te),