k = cos x -f- cos 2x -h cos

On trouve u' = — 2 sin #(6 cos2 a? -f- 2 cos o? — 1) ; donc, si a, [5 sont

les plus petits arcs positifs avant pour cosinus - > u est maxi-

muni pour x = 0 et x = fi, minimum pour x = », etc.

11 On donne xi-{- j1 - 4xy = 0. Démontrer que y est maximum pour

a; = y 3, minimum i)our x = — /o .

li*. Par un point P donné sur la tangente en G à un cercle O, mener une sécante PAB telle que l'aire du triangle ABC soit minimum.

Si PE est la seconde tangente issue de P, on a tg BPE = - tg CPB.

13. Trouver : 1° la tangente d'une ellipse dont le segment compris entre les axes soit un minimum ; 2° la normale la plus éloignée du centre.

Le point cherché de l'ellipse correspond à l'égalité y2 : x2 = Z>3 : n:i.

14. On appelle déviation en un point d'une ellipse l'angle de la tangente en ee point avec la tangente au point correspondant du cercle principal. Trouver le point de déviation maximum. (Même réponse que pour l'exercice i3).

15. L'écart normal en un point d'une ellipse est l'angle formé par la normale en ce point avec le diamètre. Trouver l'écart normal maximum.

Cela revient à chercher l'angle minimum de deux diamètres conjugués.

16. Maximum ou minimum de la somme de deux diamètres conjugués d'une ellipse.

Si 2z, îz' sont les longueurs de deux diamètres conjugués, on a

L'expression le = z -f- y ci~ -f- b2 — z2 est maximum pour

cr + &2

Cctie solution n'est pas complète parce que la variable z elle-même est susceptible d'un maximum a et d'un minimum b. Si l'on prend pour coordonnées d'un point de l'ellipse a cos o, b sin ç>, on a

\ et1 cos2 © -(- b2 sin2 <p -j™ \#2 si11* ? H- ^2 cos2 -f

rfw „ . / 1 l

:- ■= — C" Slll CO COS £

d<? ' \\a2~cos2<? -f &2sin2<p V/a2sin2<p-f-62cos2œ

d'où un minimum pour © = 0 et u> = - tt, etc. 17. Maximum ou minimum de

\ a2 cos2 o -\- b2 sin2 «p \ a2 sin2 o + b2 cos2 o

18 Etant donné un tétraèdre, trouver le point dont la somme des carrés des distances aux faces soit un minimum. Ces distances sont proportionnelles aux aires des faces.

19. Maximum ou minimum de x* -\- ?/4 — 5?(a?2 -J- y2) -J- Axy.

Un minimum pour a- = rb |/2, y = ± l 2; un maximum pour 5C = 0, y = 0.

20. Maximum ou minimum de azx + b2y -f- c2z, avec la condition

On cherche le maximum ou le minimum absolu de

ce (pii donne

rt & c

X résulte de (1) On substitue les valeurs (2) dans

û?2U = — 2^{xdx2 -f- J/^//' 4~ so?s2j, etc.

On aura un maximum si les trois inconnues sont positives, et un minimum si une seule est positive.

21. De toutes les pyramides triangulaires de même base et de même hauteur, quelle est celle qui a la plus petite surface?

Soient n, b, c les côtes delà base, h la hauteur et a, 3, y les dièdres à la base;

il faut rendre minimum h = - /iS — — > sous la condition 1" a cotir x=const.

2 sin x

On trouve a = 3 = v.

22. Trouver un point Z dont la somme des distances aux sommets d'un triangle donne ABC soit un minimum.

Soient (x, y), (xlt y^, (x^y-^), (a-3, y3) '©s coordonnées rectangulaires des points Z, A, B, C On trouve les équations de condition

- \ u. __ Xiy + (J/ yi)2 " y/ (<r __ ^ f. (^ . yiy

Si «x, x2> as sont les angles de Z.V, ZB, ZC avec l'axe OX, ces équations

donnent

cos <*! -\- cos a., -\- cos a3 = 0, sin al -j- sin a2 -f- sin a3 ^ 0;

d'où cos (a1 — -;2) = — - ■ Donc les angles AZB, BZC, CZA sont égaux à 120°.

Z est le centre isogone de ABC. (Comparer Journal de Liouoille, t. VIII).

23. Trouver un point Z dont la somme des distances aux sommets d'un tétraèdre ABCD soit un minimum.

Les angles AZB et CZD, AZC et BZD, AZD et BZC sont égaux.

24. Par un point M intérieur au triangle ABC, on mène trois droites parallèles aux côtés et limitées par les angles opposés. Déterminer le point M de manière que la somme des trois parallélogrammes formés par ces droites et les côtés du triangle soit un maximum.

25. Trouver la perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées sur un plan, les axes coordonnés faisant entre eux les angles a, [3, y.

On cherche le minimum absolu du

4- y~ + -s 2 + 2a -y cos y -f 2yz cos a -f 2zx cos (3 + \koc -f- By -fC* -f-D)

20. Trouver les longueurs des axes d'une conique représentée par l'équation Ax* + 2B.vj f Cy2 = 1.

On cherche le maximum ou le minimum de a2 = x'1 -\- 2xy cos 0 |- y2, u est racine de l'équation

(AC — B2)w4 — (A + C - 2B cos 6)w2 f sin2 0 =r 0.

27. Circonscrire à un triangle donné ABC la plus petite ellipse possible, Si a, 3 sont les coordonnées du centre, l'ellipse a pour équation

AO - a)2 -f 2B(œ - a) [y - (3) + C(y - ?r - 1,

sur-

et le produit des carrés des demi axes a pour expression • La

question revient à chercher le maximum de AC — B~. Prenant pour axes le côté BC et la médiane correspondante A A', on a les conditions

Aa2— 2B<m— P)+C(m — p)2=l, kU ± ^aX +2bU ± Ia)p+Cp8— I.

On en déduit que le centre de l'ellipse est le centre de gravité du triangle ABC.

28. Soient A', B', C les projections d'un point M sur les côtés du triangle ABC. Trouver le maximum de l'aire du triangle A'B'C (triangle podaire de M).

Si x, y, z désignent les distances MA', MB', MC, on cherche le maximum de

2w = yz sin A -f zx sin B -f- xy sin C,

sous la condition x sin A -f- y sin B -f- z sin C = const. Le point cherché est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.