TANGENTE ET NORMALE

Coordonnées kectilignes.

172. Tangente et normale. — Une courbe (fig. 23) étant rapportée à deux axes OX, OY, la tangente MT en un point M(A', y) a pour coefficient angulaire la dérivée y' de l'ordonnée

Fig. 1-.

y considérée comme fonction de l'abcisse x (36). Par suite, si X, A" sont les coordonnées courante-, l'équation de MT est

La normale MX a pour équation en coordonnées rectangulaires

si l'angle XOY-0, le coefficient angulaire m de MX résulte de 1 -|- my1 -{- (w 4- y') cos 8 = 0.

La courbe est généralement définie par une équation de la

l'orme F(x, y) = 0. On a alors (72) F'., -f F'y y' ==■ 0, et les ('^nations (1) et (2) deviennent

X— x Y— y "PT = F'y * (4)

L'équation (3) est illusoire lorsque Frx = 0, F'y = 0 ; M est alors un point singulier de la courbe. Nous reviendrons sur ce cas.

La courbe est quelquefois définie par deux équations paramétriques

x = fit), v = ?W>

La tangente et la normale ont alors pour équations

(Y — y)dx ==■ (X — a?)û?y, (5)

(X — x)dx + (Y — y)dy = 0 {6}

où ofo = /*(*)cft, dy = o'(i)dt.

173. Sous-tangente, sous-normale. — Soient (fig\ 77) MP l'ordonnée d'un point M d'une courbe, T et N les points où la tangente et la normale rencontrent l'axe Ox. Les segments Pï, PN sont appelés sous-tangente, sous normale ; on les considère comme positifs ou comme négatifs suivant qu'ils sont dirigés à partir de P dans le sens des abscisses positives ou dans le sens contraire. Les segments MT, MN sont les longueurs de la tangente et de la normale.

Soit a = XTM = NMP l'angle de la tangente avec Taxe OX. L'inspection de la figure donne :

Sous-tangente PT = - PM cotg a = — -v,,

Sous-normale PN = PM tg a = yij .

MT = \ P T2 + P M2 = y-, \]l -\- y'2 , MN = y \j\ + y'2 •

174. Applications. — I. Parabole. L'équation y2 = 2px donne yy' = p, d'où y'=f, et:

Sous-tangente = ~ = — 2a? ;

Sous-normale — yy1 = p.

Ainsi, 1" la sous-tangente est double de l'abscisse du point de contact et de signe contraire ; 2° la sous-normale est constante.