III. Logarithmique. Cette courbe (fig. iS) a pour équation
Fig: 18.
Nous supposons a > 1 ; lorsque x croit de — oo à -\- oo, y croît de 0 à oo ; donc la courbe s'étend à l'infini des deux cotés de l'axe OY et est asymptote de l'axe OX, du côté des a* négatifs. On a
sous-tangente
la
Ainsi, la sous-tangente est constante.
175. Tangente en coordonnées cartésiennes homogènes. Soit F(.v y) = 0 l'équation d'une courbe algébrique d'ordre m.
Il est souvent avantageux de remplacer x, y par.-i^; l'équation de la courbe sera F ( >- ) = 0, et si on chasse les dénomi-
nateurs, on obtient une équation entière homogène en .y, y, z de degré m, que nous représentons par F(.v, ?/, z) = 0. On dit que x, y, z sont les coordonnées cartésiennes homogènes.
Soient a-, //, z ctX = .Y -f/?, Y =y -\-k,rA =z ■-}- Mes coordonnées cartésiennes homogènes de deux points M, M', infiniment
voisins sur la courbe. Nous aurons
Si on applique le théorème de Taylor (133), la seconde équation, eu égard à la première, devient
Elle se réduit sensiblement aux termes du premier ordre en
, ôF , dF , JF n
*to + *^ + /s = 0' l2)
ou à (X,)g + (Y y)g + (Z-,>g=0. (3)
On en conclut, eu considérant maintenant X, Y, Z comme des coordonnées courante?, que dans le voisinage du point M la courbe se confond sensiblement avec la droite représentée par l'équation (3). Cette droite est donc la tangente en M.
L'égalité F(x, y, z) = 0, si on applique le théorème des fonctions homogènes (116), prend la forme
<)F dF dF
da? cty <vc
on peut donc réduire l'équation (3) à
eto; d-s cJs
Cette équation est illusoire, et le point (.y, 3*, 2) est un point singulier de la courbe si
dx ' ch/ ds
Exemple. — L'équation d'une conique rendue homogène, est aif -f 2bxy -f ex2 -f 2rfjA5 -h 2ea?5 + /s2 0; la tangente a donc pour équation
[by -f- ex -h c:) X -|- («j/ + bx -f rfj)Y + ('('/ +- ce -f- /ï)Z - 0.
— îeo —
Pour passer aux coordonnées ordinaires on fait z = 1, Z — 1.
176. Tangente par un point extérieur. — Soit à mener une tangente à la courbe ayant pour équation F(x, y, z) =1 0, par un point P dont les coordonnées homogènes sont a, 3, y. Les coordonnées (x, y, z) du point de contact vérifient les deux équations
*F'X + PF'X + yF'z - 0, F(ar, y, *) = 0. (1)
Ce point est donc situé à l'intersection de la courbe proposée avec une courbe d'ordre m — 1 ; par suite, les tangentes issues de P sont au nombre de nvin — 1).
Nous admettons que deux courbes algébriques dont les ordres sont m et n, se coupent en mn points, réels ou imaginaires, à distance finie ou infinie.
Un point singulier annule les trois dérivées F'x, F'y, F'z; il est donc situé sur la courbe d'ordre (m — 1) représentée par la première des équations (1). Mais la droite joignant un tel point à un point quelconque du plan est ordinairement une tangente impropre. On en conclut que le nombre m{m — 1) subit une diminution lorsque la courbe possède des points singuliers.
177. Tangente en coordonnées plurilatères. — Si l'équation d'une courbe algébrique se présente sous la forme
F(a1,a,, ...,ocn) = 0, (1)
où «!, a2, ..., an désignent des fonctions du premier degré,
l'équation delà tangente peut être écrite ainsi :
(A,-a1)g+(A!-«jJ + - + (A»-g| = 0; (2)
les quantités alf a2, ...,a„ se rapportant au point de contact (x, y) et les quantités Alf A,, ..., An à un point quelconque (X, Y) du plan.
La démonstration est analogue à celle du § 175 : on considère les deux équations
F(al5 a2, ..., an) =0, F^ -f hx, a2 -f h2, ..., an -f hn) = 0,
dont on développe la seconde par le théorème de ïaylor (133), etc. Si l'équation (1) est homogène en *lt ..., an et de degré m, on a
<?F , oF A
- un -
l'équation (2) se réduit donc* à
()ol1 <)%.î ()y.n
Les quantités an *2, ..., an, rapportées à un point M(#, y), forment un système de coordonnées (plurilatères) de M ; elles sont proportionnelles aux distances de M aux droites ayant pour équations
ayx -f bxy -f cA = 0, .. , «n^ -f 6n?/ + cn = 0. Coordonnées polaires.
