Angle de la tangente avec le rayon vecteur. — Soient

0 le pôle et OX l'axe polaire (fig. ig). La tangente TD en un

Fig. ii).

point M d'une courbe représentée par une équation r = F(8), est déterminée par l'angle CMD == V, que le prolongement du rayon vecteur OM fait avec la tangente du côté des 0 croissants. Désignons par r, 0 les coordonnées de M, et par r -j- À\ 0 + h les coordonnées d'un point M' infiniment voisin de M sur la courbe. Quand M' tend vers M, la limite de l'angle OM'M est OMT =V. Or, en menant MP perpendiculaire à OM', on obtient par les triangles rectangles PMM', PMO :

MP MP rsin//

tg -M " M,p = ~- 0M-, ()p =- r A k r {.os h

r sin h

/i + 2rsin2^

Pour passer à la limite pour h = 0, on peut remplacer sin h Neuberg, An. inf., i 11

par h, et négliger le ternie du second ordre 2r sin" 0 30) ; on trouve

tg V = r 1 mi - = r : lini

Or, si Ton considère le rayon vecteur r comme une l'onction de

dr

l'angle 0, lini est la dérivée ,. ou /•' ; donc

tgV.=

179. Sous-tangente et sous-normale. — Soient T et M les points où la perpendiculaire menée par le pôle sur le rayon vecteur OM rencontre la tangente et la normale. Les segments OT, OM sont appelés sous-tangente, sous-normale ; ils sont positifs ou négatifs suivant qu'ils sont portes sur le rayon OM

tourné de £ dans le sens des 8 croissants ou dans la direction

opposée.

On trouve aisément :

Sous-tangente

OM tg V = — -j

Sous-normale = OM cot&'V

Ainsi, la dérivée du rayon vecteur par rapport à V angle polaire est égale à la sous-normale.

Mï et MX sont les longueurs de laltangente et de la normale.

MT = \ OM* -f OT2

'', \Jr* + r*\ MN-V^ + r"