II. Spirale hyperbolique. — L'équation de cette courbe
{fig. 21) est
r6 = «, ou r = - >
elle est analogue à celle de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes. Lorsque 0 croît indéfiniment, r décroît sans cesse; donc la courbe fait une infinité de révolutions autour de O en se rapprochant tant qu'on veut de ce point; O est donc un point asymptote. Si l'on fait tendre 0 vers zéro, r croît indéfiniment et la courbe se rapproche sans cesse d'une asymptote HH' parallèle à OX; car si l'on abaisse d'un point M(r, 6) une perpendiculaire MP sur OX, on a
a.t, • , « sin 0
MP = r sm ft = ; hm MP = a, pour 0 = 0.
La sous-tangente est constante, car — T = a.
III. Spirale logarithmique (ou équianglé). Cette courbe a pour équation
Lorsque l'angle 6 varie en progression arithmétique, le rayon r varie en progression géométrique. Cette remarque permet d'obtenir une infinité de points quand on connaît le pôle O et deux points M, M\ de la spirale : on construit une suite de triangles OM1M2i OM2M3, ... directement semblables à OMM^ les sommets M,, M3, ... appartiennent à la courbe.
La courbe coupe sous un angle constant tous les rayons issus
de O. En effet, tg V = ~ = 7 • 0 r' /a
181. Conchoïdes. — Etant donnée une eourbe-A [fig-, 22), portons sur chaque rayon vecteur OM, dans un sens et dans l'autre, une longueur constante MM' = MM" == b; les points
Fi g 22.
M1', M" décrivent deux nouvelles courbes A', A", qu'on appelle conchoïdes de A. Si l'équation de A est r = F(6), eclles des deux conchoïdes sont
Souvent une seule des équations (l) suffit pour représenter les deux lignes A et A'.
En des points correspondants M, M', M", les trois courbes ont même sous-normale polaire ON ; car la dérivée r' est la même. Cette propriété permet de construire la tangente à la conchoïde quand on connaît la tangente à la courbe primitive.
Conchoïde de Nicomède. — On appelle ainsi la conchoïde d'une droite CI) (fig. 23). Soit OA a la distance du pôle O à
Fier. 23.
Fig. i>^.
Il s
la directrice CD. L'axe polaire étant OA, les deux branches C'A'D', EM"À"F sont représentées par la même équation
cos 0
pourvu que l'on admette les rayons vecteurs négatifs. On peut distinguer trois eas :
1° b > a, conchoïde crunodale ;
'2° b a, conchoïde cuspidale; •
3° b < a, conchoïde acnodale.
La figure se rapporte à la première hypothèse ; la courbe a un point double en () ; les deux tangentes en () sont les obliques OC, 01) égales à b. CD est une asymptote commune aux deux branches.
Si b -— a, O devient un point de reb rousse ment , et OA est la tangente en ce point.
Si b <^ a, O est un point isolé; il appartient aux deux obliques imaginaires, de longueur b, menées de O vers CI).
Limaçon de Pascal. — La conchoïde d'une circonférence AMOXJ par rapport à l'un O de ses points est appelée limaçon de Pascal. Soit OA = a le diamètre du cercle directeur; l'équation de la courbe est
r — a cos 0 -\- b.
Nous distinguons encore trois cas :
1° b < a, limaçon crunodal ; 2° b = a, limaçon cuspidal ou cardioïde; 3° b > a, limaçon acnodal.
La figure 24 représente un limaçon crunodal ; les tangentes au point double O sont les cordes OT, OV, égales à b.
Lorsque b = ~ a, la courbe devient le limaçon trisecteur :
l'angle MIA = 3MNI, I désignant le centre du cercle directeur.
Exercices et notes.
1. Si y = nxm, il existe un rapport constant entre la sous-tangente et l'abscisse.
2. Sur un rayon vecteur quelconque <)M d'une courbe S, on porte une longueur OM^ = k. OM; le point M] décrit une courbe Sl5 homothétique à S. Démontrer, géométriquement et analytiquemeiit, que les tangentes en detix points homologues M, Mj sont parallèles.
Deux cordes homologues MN, M^Nj sont parallèles: passons à la limite, etc. — Entre les coordonnées rectilignes de M, M1( on a les relations
Vi = kv, a*i = kx : d'où ; ' = , .—Les équations de S et Si, en coordonnées
J' l dx^ (Lx L
polaires, sont r = F(Oj, r} = kY (Q); d'où , = ,' •
3. Sur le rayon OM de S, on porte la longueur OMf = k : OM; le point M] décrit une courbe Sj, dite inverse de S. Etablir, par la géométrie et par l'analyse, que les tangentes en deux points correspondants M, Mj sont également inclinées sur OM, mais en sens contraire.
4. Soient S, Sj deux courbes telles, que les ordonnées qui correspondent à une même abscisse soient dans un rapport constant A*; ces courbes sont dites homologiquement ii/fines. Démontrer que les tangentes en deux points homologues M, M] se coupent sur Taxe d'affinité OX.
5. Soient M, MH M2 les points de trois courbes S, Sl5 S2, qui correspondent à une même abscisse; désignons par y, ylt y., leurs ordonnées.
1° Si l'on a constamment y\ = y2 -\-n-, les normales on M, M2 se coupent sur l'axe OX. 2° Si yx = kym, les sous-tangentes en M, Mt ont un rapport constant. 3° Si M2 divise MM[ dans un rapport constant, les tangentes menées en M, Ml9 M2 concourent en un même point. 4° Supposons yi—yy] • alors la sous-tangente de S2 est une moyenne harmonique entre les soustangentes de S et Sj. 5° Lorsque le produit M2M.M2Mi est constant, les tangentes en M et Mj déterminent sur la tangente menée en M2 deux points symétriques par rapport à M\>.
6. La conchoïde d'une spirale d'Archimède par rapport à son pôle est une spirale égale à la première. Une spirale d'Archimède est sa propre conchoïde.
7. Dans deux courbes, les rayons vecteurs qui correspondent à une même valeur de 0 vérifient la relation r \- 1\ =2a\ démontrer que les sous-normales polaires sont égales et opposées.
Si l'on a = -, les sous-tangentes polaires sont égales et opposées.
