Les courbes représentées par l'équation
r" — a sin n§
ont reçu le nom général de spirales sinusoïdes. Les valeurs les plus
remarquables de n sont /j 1 (cercle), n — — 1 (droite), h ■■ 2 (lemniscate de
Bernoulli), w = —2 (hj'perbole equilatere, n -} cardioide), n = — -(para
1 > o 1 e , / i =- (podaire du centre d'une lemniscate (*), n
antipodaire du
centre d'une hyperbole équilatèrê)., n -^ (caustique par réflexion d'une
parabole pour des rayons perpendiculaires à l'axe), etc. (Nouv. Ami., 1876, p. 97 et 1886, p. 3(.»7i.
Démontrer les propriétés suivantes :
L'angle de la tangente avec le rayon vecteur est égal à n lois l'inclinaison de ce dernier sur Taxe polaire.
La projection du rayon vecteur sur la normale est proportionnelle a la puissance l-\-n du rayon vecteur.
La podaire et l'antipodaire sont également des spirales sinusoïdes.
11. Lorsqu'une courbe représentée par l'équatien F(r, 6) = 0 passe par l'origine O, l'angle que fait la tangente en ce point avec l'axe OX est donné par l'équation F(0, 0) = 0.
Appliquer ce principe aux conchoïdes de la droite et de la circonférence.
12. Construire la tangente à la courbe r — a sin11 0. On a la relation tg Y = tg 0
13. Même problème pour les rosaces (rhodonées) ayant pour équation r — a sin mô.jVoir Journal de Math, spéc., 1893, pp. 173-178.)
14. Même problème pour les épis, inverses des rosaces, dont l'équation polaire est r sin mû — a.
15. Même problème pour la courbe d'équation polaire r — a tg 0, et plus généralement pour les courbes représentées par r = a tg mO.
Dl sens de la CONCAVITÉ .
182. Définitions. — Si en un point M d'un arc de courbe AMB (fig. 25) la tangente A'B' n'est pas parallèle à l'axe OY, et que Fig. 20. Fig". 26.
La podaire d'une courbe est le lieu des projections d'un point fixe sur
les tangentes.
dans le voisinage de ee point la courbe se trouve constamment du même côté de Âc'B' que la partie indéfinie de l'axe des y positifs, on dit que la courbe, au point M, est concave vers le haut ou convexe vers le bas. Si, au contraire, la courbe est du même côté de A'B' que l'axe des y négatifs, elle est dite concave vers le bas ou convexe vers le haut.
On appelle point d'inflexion un point où la tangente traverse la courbe (fig. 26) ; en un tel point, la concavité change de sens.
183. Théorème. — Si la dérivée "0 est positive en un point M,
la courbe est concave vers le haut ; si cette dérivée est négative, la courbe est convexe vers le haut.
En effet, soient (a-, y) les coordonnées de M, et y = F(x) l'équation de la courbe AMB. Prenons sur la courbe, de part et d'autre de M, deux points A et B infiniment voisins de M. Leurs ordonnées A'A, B"B sont plus grandes que les ordonnées correspondantes A'A', B"Br de la tangente si la courbe est concave vers le haut ; elles sont plus petites si la courbe est concave vers le bas. Or, l'équation de A'B' étant
l'ordonnée y, de cette droite (A"A' ou B"B') qui correspond à l'abscisse x -f- h (OA' ou OB') a pour valeur
/A = y + hF\x) ;
l'ordonnée y, (A A' ou B.B') de la courbe a pour expression
y% = F(r + h) - F(x) -f hF'(oo) -f y^ F"(x + 6/*).
11 en résulte
par suite, comme F"(x -f- 6/1) a le signe de F'uv) pourvu qu'on ait F"(.v) ^= 0 et que | h | soit suffisamment petit, la différence y 2 — yx a le signe de W(x). Le théorème est donc démontre. 184. Théorème. — En général, en un point d'inflexion la
dérivée ;., s'annule ou devient infinie en changeant de signe.
Car le sens de la concavité changeant en un tel point, la dérivée
d'Y ;., doit changer de signe (183), ce qui exige qu'elle devienne
nulle, infinie on discontinue par saut brusque.
Remarques. — I. Si la dérivée , ' , s'annule en un point M, il n (lx-
i'aut encore qu'elle change de signe pour que M soit un point
d'inflexion. Pour le voir, on peut recourir à la première dérivée
qui ne s'annule pas en M. En effet, supposons
F"(x) = 0, F'V) = 0, ..., Fta-H(a?)=Q, Fu^(x) /■ 0 ;
nous aurons en reprenant les notations du § 183 :
y, == y + AF'(.r), y, = F(a> + h) = F(x) + AF» + ^,F"<.r h 0/,) ;
d'où
hn
Pour | /z | suffisamment petit, ¥n(x -f- 0/z) a le signe de F n\x). Donc, si n est impair, y2 — yl change de signe avec h, et M est un point d'inflexion ; si n est pair, y2 — yx a le signe de F^(.y), et la courbe est concave vers le haut ou vers le bas suivant que Ftn-(ac) > 0 ou < 0.
II. En un point d'inflexion à tangente parallèle à OY, la déri-
vee —■ devient infinie sans changer de signe; la dérivée . -2 est
