Applications. — I. y = smx
La courbe représentée par cette équation est appelée sinusoïde [fig. 27). Pour la construire par points, on prend une
Fisc. 2Z.
abscisse OP égale à un ave rectifié de la circonférence trigonométrique ; l'ordonnée correspondante PM est égale au sinus de cet arc. La courbe se compose d'une infinité d'arcades égales OAB, BCD, DEF, ....
On a y" — — sinsr; donc y" s'annule en changeant de signe lorsque x =- 0, -, 2-, .. . Les valeurs correspondantes de y' sont + 1, — 1,-hL — !,-••; doire la sinusoïde a une infinité de points
d'inflexion sur l'axe OX, et les tangentes en ces points font avec OX un angle de 45°, dans un sens ou dans l'autre.
L'équation y = cos x représente la même courbe, déplacée de
la longueur ~ dans le sens OX.
La sinusoïde générale a pour équation y = m ainnx, ni et n étant des constantes.
il x* + r-^i. iflg.28.)
On a
L'équation (1) ne change pas quand on échange a* et y; la bissectrice OI) de l'angle XOY est donc un axe de symétrie de la courbe. Cette droite coupe la courbe en un point C pour lequel
x—y- ., ; la tangente en C est perpendiculaire à OC, car
Pour tracer la courbe, cherchons les coordonnées de quelques points :
On \ oit que y tend à devenir égal à — x à mesure que x croit ; donc la bissectrice UU' de l'angle XOY est une asymptote.
La tangente en C étant parallèle à l'asymptote, l'existence de
Fier. 28.
deux points d'inflexion est manifeste. La dérivée y" s'annule en changeant de signe pour x = 0; B est donc un point d'inflexion à tangente horizontale. A cause de la symétrie de la courbe, A est un point d'inflexion, à tangente verticale; d'ail-
leurs, en ce point la dérivée y' devient infinie sans changement de signe.
186. Coordonnées polaires. — Une courbe AMB est dite concave ou
connexe vers le pôle au point M selon que dans le voisinage de M elle est constamment du même cote de la tangente en M que le pôle ou du côté opposé.
Soient (r, 0 les coordonnées de M, (;• |-A\ 0 f- /n celles d'un point M' infiniment voisin de M sur la courbe {fig ig, p. liil) : désignons par 1) le point de rencontre de OM' avec la tangente. Si l'on pose
" OM' Oh
la courbe sera concave ou convexe vers le pôle selon que o > ou < 0. Le triangle OMl) donne
OM sin (V — h) , . v . ,
ïïjz = - . ^t— - = COS // — cote; \ sin // ;
01) sin V
d'où, à cause de tg V = r : r',
11 h r' . 1 /rv . .
01) = r COS A ~~ ï* S1U = r ('°S + l^J bin h' Si l'équation de la courbe est ■= ce (Q), on a
8 = om' ~~ m = * (0 + /() ~~ ■ ('° cos /( ~ •' (0j sin /(
I)évelop])ons © (8 -f/o, cos /i, sin /i en série ; il vient 8 = rf»)+Aj'(0) + '| ?"(6) + JJ ,"' (0) + J| »iv(0! + ...
- g! [?(•) + ?"(9)] + ^î'W + *"W1 + il ! r'V(") - *(•)]—
Pour | // | suffisamment petit, le signe de r> est celui du premier ternie de son développement ; donc :
Si ©(G) -{- ©"(8} > 0, la courbe est concave vers le pôle:
Si co(6) -f- ©"(8) < 0, la courbe est convexe ;
Si i(Q)-f cp"(8) = 0 et ©'(6) + 'f '"(8) =£ 0, M est un point d'inflexion.
Plus généralement, M est un point d'inflexion, si le premier terme du développement de 3 est d'ordre impair en h.
On a supposé le rayon vecteur de M positif; s'il était négatif, la règle pour reconnaître le sens de la concavité serait renversée.
On trouve facilement :
1 fl\" r- 4- 2r'z — rr"
Remarque. — Si la tangente en M passe par le pôle, on a recours à d'autres méthodes pour étudier la courbe dans le voisinage du point M.
Exemple. — On nomme spirale parabolique ou de Fermât la courbe ayant pour équation v- — aQ. Nous allons étudier l'inverse de cette spirale, (pion appelle litmis , cette ligne est représentée par l'équation r2 — a : 0.
Nous ne considérerons que les valeurs positives de r.
Quand 0 croit indéfiniment, r tend vers zéro : la courbe {fi g. sg) fait donc
Fig. sg.
une infinité de révolutions autour du pôle, qui est un point asymptote. Quand 0 tend vers zéro, r croit indéfiniment. La distance d'un point M à l'axe polaire est
MI} - rsinQ
N %ino y«o sinfj
on a donc lim MP = 0 pour 0 =-0. Par suite OX est une asymptote. L'existence d'un point d'inflexion est manifeste. Comme
48 \ uh
<-c point correspond a 0 -
Exercices et notes.
Construire les courbes ayant pour équations :
1. y = x3. (L'origine est un centre et un point d'inflexion).
2. y =■- sin2 x. Points d'inflexion pour a? = (2n -j- 1) - j .
3. y — sinn x. (Points d'inflexion pour x = n~ et tg x = -± 1/2).
4. y = x- -x4.{ Points max. pour x = ± i 2: inflexion pour a; — ±
5. // = tg x. (Asymptotes, points d'inflexion . ij. y2= x2 — xA. (Courbe de la forme oo1.
7 y = ic3# (L'origine est un centre et un point d'inflexion .
