y = (a? — a) (x — b) [x — c). (Point d'inflexion
<). Lorsque m est impair et > 1, la courbe ayant pour équation
y (.,. a™fKx) a un point d'inflexion correspondant à x =a, ;y = 0,
lu. Les points d'inflexion de la courbe définie par x -f(t), y = o(t) sont généralement donnes par l'équation /"' t f" t — / " / r' t) 0.
11. Points d'inflexion de la courbe représentée par r .(6 b| '■'< ■
12. On donne une circonférence A, un diamètre AH ==a et nue perpendiculaire A' dont la distance au point A est égale à h (fig. 3o). Une sécante
quelconque menée par A coupe A on M, A' en X ; on construit le triangle rectangle MNP dont le côté XP est parallèle à AP>. Le lieu de P est une courbe ayant pour axe de symétrie AB, pour asymptote la tangente en A au cercle A
Si / désigne l'angle MAB, les coordonnées de P sont
a cos2 t, y = h tg l ;
les points d'inflexion correspondent i\t-~ ± -, ,~ .
Lorsque A' passe par le centre du cercle A, la courbe est appelée courbe d'Agnési, du nom d'une mathématicienne du XVIIIe siècle.
13. Une sécante quelconque menée par A {fig. Soi coupe en M la circonférence A, en X une droite fixe A", parallèle à AB.
On construit le triangle MNQ dont les côtés MQ, XQ sont l'un parallèle, l'autre perpendiculaire à AB; le lieu du point Q est défini par les formules
x = h cot /, y = a siu t cos t,
abx
ou par l'équation y
A est un centre di correspondent à t =
.,, h étant la distance de A à A".
\ AB une asymptote ; deux poil La courbe est appelée serpentine (Voir Jour
A est un centre de symétrie, AB une asymptote ; deux points d'inflexion
ual des Mathématiques spéciales, 1SS5, p. 2(>1'.
14. Dans l'exercice 12, on prend sur AX une longueur AB - MX ; le lieu de R est une cissoïdale, ayant pour équation
h cosO
Cl COS 0.
A' est une asymptote.
Si A' rencontre A en deux points réels E et F, A est un point double ayant pour tangentes AE, AF. Si A' touche A ou est extérieure, A est un
point de rebroussenient ou uu point i^ole. Dans le dernier êas3 des points
(l'inflexion correspondent a cos 20 ,, '
Lorsque b = a, on a une cissoïde de Diodes : l'hypothèse b~=- a donne
une strophoïde droite ; la trisectrice de Mac-Laurin correspond à b = a.
15. On donne deux axes rectangulaires <>X. OY et une droite A perpendiculaire à OX. Par un point quelconque A. de A, on mène sur OA une perpendiculaire, rencontrant OX en B, OY en ('. Le milieu de 1>C décrit une cubique mixte.
La courbe a pour équation
2sin2 8 cos 0
<\v* points d'inflexion correspondent à tg 9 =• ± \j •
16. Les points d'inflexion de la conclioïde de Niconiède sont donnes par a cos- 0 -f M cos2 0 — 2b = 0.
17 Soient M un point d'inflexion d'une courbe. M' un point infiniment voisin de M. Si la corde MM' est du premier ordre, la distance de M' à la tangente d'inflexion MT est du troisième ordre et l'angle des tangentes en M, M' est du second ordre.
On prend pour origine M, pour axe des x la tangente MT : l'équation de la courbe est de la forme
car pour x — 0 on doit avoir y — 0, y' =0, y"=Q, etc
