Intégrale d'une puissance de .v. — Considérons la

formule

a;mû?aj = — -I (m =£ — 1)

lorsque m = — 1, l'intégrale est Ix.

Dans les applications, il convient souvent de recourir aux exposants négatifs ou fractionnaires. Par exemple :

I \x2dx = x3dx = - x3 — -oc\x2 I

x3dx = - x3 = - a?v ' o o

1 x Adx — 4x* = 4 Y .r

Les cas de m = — -i /zz = — 2 se présentent souvent :

Neuberg, .4/z. m/*., /. 12

Plus généralement, si u et /'(.y) désignent des fonctions de x,

C du , . C f (x) ,

Ainsi, l'intégrale dune fraction dont le dénominateur est un radical carré et dont le numérateur est la dérivée de la quantité placée sous le signe radical, est égale au double du dénominateur. Par exemple,

C xHx 1 f 3x* 2K ; -s - . ,

Si ?/ est une fonction de xf on a

Donc, i intégrale d'une fraction dont le numérateur est la différentielle du dénominateur est égale au logarithme népérien du dénominateur. Par exemple,

f °°3dx 1 Ç 4x3dx 1 . 4 J x4 + â4 = -1 J 5* + â* == 4 ^ h a j'

f, , fsin&Y&c fdeo&x

te xdx — I - = — - ■ = — / cos x.

J c J cos ^ J eos a?