MÉTHODES D'INTÉGRATION
194. Pour ramener une intégrale proposée aux intégrales fondamentales du § 192, on a recours à des artifices dont le choix est suggéré par l'habitude du calcul, mais qui, dans la plupart des cas, se rattachent aux procédés suivants :
1e Intégration par décomposition;
2° » substitution ;
3° » parties ;
4° )> réduction successive.
195. Intégration par décomposition. — On partage la différentielle proposée en plusieurs autres dont les intégrales sont connues.
Exemples.
iq ç (3^ - 1) (4,- + 7)^ f 12^-f 21** -4,-7 dx
ri i L 2
s= (12^ + 2la?:5 — 4,:! — 7, :iW.r
= ~ ce3 4- 9a;3 — 3,:j — 21a?3 .
/* /* i cos' 5; *" doc C
2° I tft-2 xdx = „' tfa? — I — -5 \ dx — tff a? — a?.
J & J cos2 a? J cos~a? J
»/if?-/,4î^*-/('-i^>— '«+->■
Ç dx , C ondœ . . /-
= -, 4-1 - ■= htc sin a? — VI — x~.
J\l\—x~ }\Jl-x*
196. Intégration par substitution. — Ce procédé consiste à opérer un changement de variable. En posant x — ®(t), on a
(f(oc)dx = \ f\v[t)]v'(t)dt;
si l'on connaît la seconde intégrale, on y remplace t par sa valeur tirée de x = »(£).
Pour employer avec succès cette méthode, on compare la différentielle proposée à celles que l'on sait intégrer, pour la ramener à l'une de celles-ci au moyen d'une substitution convenable. Le changement de variable se fait souvent mentalement.
Ainsi, la substitution f(x) = z ramène
j* lf{oc)}™f(x)dx à f z*dz.
Exemples.
1° sin3 x cos x dx =* sin3 x . d sin x = 7 sin4 x .
2° (ccx™ 4- b)Vxm~ldx = j (axm 4- b)vd(axm 4- 6)
(ûa?m -j- Ô)P+1 ]
tt,-V ou - /«x"> 4- 6 ,
suivant que j> ■ 1 ou «= — 1.
3" I (*»)*— = [\lx)™dlx = [lx
197. Les formules fondamentales du $192 admettent les gêné ralisations suivantes qui sont d'un usage continuel :
f/ ■ n , (ax-+-b)m+l
(ax + b)*dx =ï ' / , (wî -1)
dx 1
aa? -f- 6 a
sin a# -|- b)dx = — COS (ax \ b);
cos (a# - b)dx = — - sin (<7.r 4- £>) ;
dx 1
= - -tg ax -- b);
' cos- (ax 4- b) a '
cotg [ax -\- b)
sin2 (aa? -j- b) a
dx . x,
= are sin- »
cfo? 1 X
- = -arc tg
Pour démontrer ces résultats, on l'ait, dans les deux dernières intégrales, x = nt : dans les autres, ax -\~ b = t.
198. Voici des exemples qui familiariseront le lecteur avec les formules précédentes ou avec les substitutions les plus fréquentes.
1° Pour intégrer sin2 xdx et cos- xctx, on remplace sin- x et cos2 x par des fonctions du premier degré :
. 0 , |"1 — Cos 2x , x sin 2x.
sur xdx = j — dx = - —
f o 7 f 1 -I- cos 2a? .
cos- o:aaj = dx =
De même
s in
ax cos bxdx
fsin
[a |- b)x + sin (« — //m'
efo»
cos (a 4- b)& cos (a — &)# 2(a + ï)" 2(a — *)
J siu.t I 9
r/jt*
dx cosa?
sm - cos -
1 ftuV i '
= / ti{ r
tg- 2 cos- -
3° o , , . -Le dénominateur a l'une des formes
dx ax2 -\- bx -\- c
a(œ — x') (x — x"), a(x — x')~, a[(x — a)2 -f- (32 Dans le premier cas, en observant que
(x — x') (x — xr) on ramène l'intégrale à
Dans le second cas,
dx a(x — x')2
a(x — x') Dans le troisième, on pose x — % — (te, d'où dx = $dz; il vient
Ç dx 1 f (3ote 1 r a; — a
! ax- -\-bx +c == â J P8(l+**.) = âp arC tg S " = âp arC g ' ? ~
i x- dx
1° , • La substitution
,r = o sin z, dx = a cos zdz ramène l'intégrale à
sin2 zdz = a2
— cos 2z
dz -
sin 2z
Or, sin c
» sin 2s = 2 sin c cos a
l'intégrale proposée est doue égale à
ô a2 are sm — ,. jj \ a- — ar.
tA lÀ/tXj
• La substitution se2 — a2 = s2 donne
xdoc — sofe, //2 — a?2 = &2 — a2 — z2 ; l'intégrale proposée devient
ote . ~ . \l x2 — a-
