Exemples. — Nous désignons par y l'intégrale proposée

\o y — \xHxdx. Intégrons par parties en posant

dr = x2dx . u = Ix, d'où v = -r > dit — -- •

x4, 7 Ç x* dx a;4 a?4

y = ■■ (x — I -— - • = -- lx J 4 x

Il vient

2° y == f xexdx. Nous faisons rfy = cx<7a, u — a; il vient

y = ^*(?x | <?xc/o; = Jrex G,x.

3o y = | # sin av/a. Si Ton pose du = sin a<7a, h = a, on trouve

y = — a? cos x -\- \ eos a? dx = — a: cos a.1 -j- sin a?.

4° y = ( ,v arc sin xdx. Cette intégrale se ramène à la précédente en posant arc sin x = z ou a = sin z, ensuite 2z = t; on obtient

y = I z sin z cos z dz — - s sin 25 ete — - / sin /

cfc.

D'après l'exemple 3°,

y = Q (— t cos ^ -f- sin £)

= arc sin x A--x- arc sin x 4- - x V 1 — ^>2«

5° y = (" ex sin a t/a. Posons du — exdx, u = sin a : il vient y — ex sin a? — j ex cos a? rfa?.

Appliquons de nouveau la formule (A) à la dernière intégrale en faisant du = e*dx, u = cos a*; nous aurons

( e* cos a? dy=ex cosa?-|- J ex sin a- dx.

Comme on retombe sur l'intégrale proposée, ou paraît tourner dans un cercle vicieux. Cependant il n'en est rien ; car on a

y = 6>x sin x — e* eos x — y,

et en transposant le dernier ternie on obtient

y = - ex (Sin x — eos x).

6° y = | arc tg *y rf*\\ Posant do = (foc, « — arc tg .y, on trouve

/* occlx y = x arc tg a? — - = x arc tg a? — - 1( 1 -h a?2).

201. Intégration par réduction successive. — Si la différentielle proposée dépend d'un paramètre m, on parvient souvent à ramener l'intégrale cherchée à une autre qui n'en diffère que par le changement de m en m — 1 ou m — 2 ... ; le même artifice réduit encore le paramètre, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à une intégrale connue.

Exemple. — ym = \ exxmdx, m étant entier et positif.

Intégrons par parties en prenant

dv — exdx, u = xm, d'où v = cx, du = nixm~ldx\

ym = cxxm — | //?;/;m 1 exdx = cxxm — mymZx.

Telle est la formule de réduction. On en déduit

ym j — e*o;m-i (m l)ym 2>

>/1 = <?\/.' — //0 = e*x — ex.

Eliminons les quantités auxiliaires ym-\, ••• )':'■> il vient //„, = ex [xm — ^M-m-1 -f m[m — l)a?m-2 . .. +(— l)m m(w — 1) ... 2 . 1

Exercices et notes.

1. I (x — a) (x — V) (x — c)dx — - x4 -- œ*£a -\- - xzï»ab — abex.