A' B' C TV L' M' N' X

et menons les ordonnées B'B, C'C, . ., L'L. L'aire U est divisée en n parties que nous appellerons a,, a2, ... an; on a évidemment

al + a2 + ••• + an " " U.

Par les points A, B, . .., L menons des parallèles Aa, Bb L/

à l'axe OX jusqu'à la rencontre avec l'ordonnée suivante; désignons par px, p2, ....,' pn les rectangles AA' B'a, BB'C'6, .... LL'M'/ ainsi formés.

Nous allons démontrer que

U = lim{P1 + pi + .,.+pi)

quand n augmente indéfiniment et que toutes les divisions de A'M' tendent vers zéro.

En effet, comparons par exemple les aires CC'D'D, CC'D'c; si c/D coupe C'C en d', on a

CC'D'D — CC'D'c < CcDr/'.

On peut supposer les divisions de A'M' suffisamment petites pour que les différences aB, bC, ..., /M de deux ordonnées consécutives soient moindres qu'une quantité donnée e; alors

CC'D'D —CC'D'c < CD', e.

Ajoutons membre à membre toutes les inégalités analogues, à savoir

a, - ^ < A'B'. e, a, - p, <B'C . e, ..., an - P„ < L'M'. e ;

nous aurons

u--(P1 + P, + ... -f PoXA'm'.e.

Comme e est une quantité aussi petite qu'on veut, la somme variable $x 4- 3., |- .... 4- 3n a bien pour limite la quantité fixe U.

Le eas où l'ordonnée de l'are A M est constamment décroissante, se traite d'une manière analogue; 011 a maintenant

(Pi + P2 + ... + Pn)~U< A'M'.s.

Si l'ordonnée [flg\ 32) ne varie pas toujours dans le même sens, on mène les ordonnées maximum ou minimum et les raisonnements précédents sont applicables aux aires partielles AA'D'D, DD'E'E, .... déterminées par ces ordonnées; donc l'aire totale est encore la limite de la somme des rectangles

Pu ,J2> •••> Pn«

Appelons maintenant a, xu xz, ..., xn~\, x les abscisses des points A, B, C, ... , L, M; les bases des rectangles 3^ p2, ..., 3n seront

A 1 ) === X 1 ••— • Cl , I> L — - 00a ~~~ QG 1 j . • • . i j -M — — OC — J.'u 1 1

et leurs hauteurs,

A'A - F(a), B'B = F fo), ..., L'L = F(a?M). Xous pourrons écrire U=lim [(xl — a) F(a)-\-(x2 — a;,) F(j?1)4* • •+(# — ^n— 1) F(#n-i)]> (1 ' ou sous forme abrégée

U = limSÏP(a>) A».

Dans cette égalité, x est supposé recevoir successivement la valeur a et une suite de valeurs xlt «v.2, .... xn—1 insérées entre a et x; A.v est l'accroissement de .y, de la valeur substituée dans F(x) à la suivante.

La formule (1) est fondamentale; elle sert à définir l'aire AA'M'M dans les cas qui n'ont pas encore été considérés.

Si, x étant plus grand que a, l'arc AM est entièrement situé audessous de l'arc OX, les produits (Xy — a) F(a), (x, — xx) Ffjcj, . . , sont négatifs ; ils représentent les aires des rectangles 3j, 3.,, .... changées de signe. Par conséquent la formule (1) est encore applicable pourvu que l'on regarde l'aire AA'M'M comme négative.

L'arc AM peut couper L'axe OX; en ayant égard aux signes des produits F(x) Ai a) on voit que lini I'F(a-) A a* représente la

Fie. 33.

Fig: 34

différence entre les aires des segments situés au-dessus et les aires des segments situés au-dessous de OX. Ainsi, dans la figure 33,

U = AA'O — CED -f DM'M.

Supposons ensuite x < a {fig. 3/f). Les différences x1 — a, xt — xlt ... étant négatives, les aires des rectangles à ordonnées positives entrent dans ÏF(a)Aa avec le signe — , les autres avec le signe -f-î par suite la limite de cette somme est la différence entre les aires inférieures et les aires supérieures.

Remarque. — L'aire U est aussi la limite de la somme des rectangles tels que C'D'Dd' (fig. 3i) que l'on obtient en menant par les points F>, C, ... M des parallèles à XO jusqu'à la rencontre avec* l'ordonnée qui précède; elle est aussi la limite de la somme des trapèzes inscrits AA'B'U, BB'C'C, .... En effet, on remplace ainsi les rectangles infiniment petits pt , 32, ... par d'autres aires qui en diffèrent seulement par des infiniment petits d'ordre supérieur (29).

Pour la même raison, si a', x'13 x'2, ..., A'n-i sont des nombres quelconques appartenant respectivement aux intervalles (a, x{), (a,, a%), ... , (xn-i, a), on a

U =lim[(o7, —a)F(a') + [œ% — œl]F(œ\) \- ... -f (a? — #n-i)F(a?'n .])].