Différentielle du segment. — L'aire AA'M'M (fig. 3i
peut être considérée comme une fonction de la dernière abscisse OM' x. Si l'on attribue à x l'accroissement M'N' = Aa, l'aire U prendra l'accroissement AU = MM'X'N, compris entre les
rectangles M'N'm M et M'N'N/i; doue si l'on appelle y la der nière ordonnée M'M, on a
>/\x < AU < (y -f Ay)A^,
d'où
y < -fe < y + A//'
y t dU --= y dx = ¥[x)dx
et en passant à la limite :
dU
dx
Il est facile de voir que ce résultat est applicable à tous les cas. Donc, la dérivée d'un segment par rapport à la dernière abseisse est égale à la dernière ordonnée.
204. Aire d'un segment. — Soit f{x) une fonction ayant pour dérivée F(x). La différentielle de U étant F(x)dx, la valeur de U est comprise dans Vintégrale générale de F(x)dx, et l'on peut poser
pourvu qu'on donne à la constante d'intégration C une valeur convenable. Or, si l'on fait coïncider l'ordonnée finale M'M avec l'ordonnée initiale A'A, l'aire U s'annule; on doit donc avoir
f(a) -r-C = 0, d'où C = —fia).
Ainsi U = f(x) — f(a).
ou (189)
- pF(*)
dx.
Applications. — I. Segment de parabole (fig. 35). Xous désignons par U l'aire comprise entre l'axe AX, l'ordonnée FM et Fig1. 3:"). Fig. 3(j
it y
l'air AM commençant au sommet. Les coordonnées de M étant .v, y, on n :
lT = I y dx = \l 2p x dx = V/ 2p I aêtdso
L'aire APM vaut donc les ~ du rectangle construit sur AP et I\M
ou les x\ du triangle TPM formé par l'axe, l'ordonnée PM et la
tangente MT.
1 1 . Hyperbole équilaière (fig. 36). Soit U l'aire comprise entre une asymptote OX, l'ordonnée A'A qui correspond à l'abscisse OA' — 1, une ordonnée quelconque M'M et l'arc AM. Si l'équation de l'hyperbole est sçy = k, on a
Y \ ii dx — \ =\klx]f klx.
Cette valeur de U est négative pour x <^ 1, ce qui est conforme à la convention sur le signe de l'aire (202).
Intégrale définie.
205. Si l'on rapproche les deux expressions trouvées pour U (202, 203), on peut énoncer le théorème suivant :
Soit F(x) une fonction continue dans l'intervalle (a, x). Insérons entre a et x des moyens x1? x2, .. , xn 1 d'après une loi permettant de rendre la différence de deux termes consécutifs de lu suite
ce j «x- 1 j ju oy ••> n — 1?
aussi petite quon veut : lorsque n croit indéfiniment, la somme (a?j — a)¥{u) -f (x2 — J?t)F(.r J + [xz — #8)F(tf8) +. . . + (x — #n-i)F(#n-i)
tend vers une limite déterminée, indépendante du mode d'insertion des moyens. Cette limite considérée comme fonction de la dernière valeur x a pour dérivée F(x) et est égale à V intégrale définie jx F(x)dx.
Ce théorème démontre l'existence de l'intégrale d'une fonction F (.y) continue dans un intervalle donné (a, x) et donne le moyen de définir graphiquement cette intégrale comme l'aire d'un segment de la courbe y = F ,v .
206. Remarques. -- I. Le théorème précédent peut s'énoncer ainsi :
L'intégrale définie f*F(x)dx est In limite de la somme des videurs que prend la différentielle F(x)dx lorsque In variable x passe de la limite inférieure n In limite supérieure de V intégrale par un nombre indéfiniment croissant de valeurs intermédiaires.
On suppose ici (pie dans F(x)dx on donne à a* successivement les valeurs a, ,v,, x.2, . ... A:n j et (pie dx est l'accroissement de la valeur substituée quand on la compare à la valeur suivante.
