II. Plus généralement (202, Remarque

CF(o;)doc=\im[(x1^ a)F(a') -f (a?2— xJFÇxJ -{-...-]- (x— x'n-JFix'n-i)],

où a', x\, x'.2, . .., .v',.,-! sont des nombres quelconques appartenant respectivement aux intervalles (a,3Ci), (x^x^, (x2 — .v3). ...

(tfn-i.tt).

III. Si Von renverse les limites d'une intégrale définie, elle ne fait que changer de signe; autrement dit,

f* F(x)dx = — f* F(x)dx.

Cette proposition résulte de la remarque précédente, car le facteur dx de chaque élément F(x)dx de l'intégrale définie change de signe; elle se déduit aussi de la première définition de l'intégrale définie (189).

IV. Soit /(.Vf une fonction ayant pour dérivée F(x). On pose, pnr définition,

| F(oc)doc — lim | F(x)dxf pour b = oo.

l F(x)dx = lim ) F(x)dxf pour a — oo. Ces égalités prennent la forme

|'^° F(œ)dx = /"(oo) - f(a), CoQF{x)dx =A^)-A-oo)>

si l'on convient de représenter par foa), f( — oo) les limites vers lesquelles tend f(x) pour x = oo ou x = — oo.

Il est sous-entendu que la fonction F(x) est continue à l'intérieur de l'intervalle d'intégration.

Aire d'un secteur.

207. Coordonnées polaires. — Soit r — F(o) l'équation d'une courbe A M en coordonnées polaires {flg. 3y). Désignons par U l'aire d'un secteur AOM, compris entre un rayon vecteur fixe OA et un rayon variable OM; si r, 0 sont les coordonnées de M, on peut considérer U comme une fonction de 0

Soient r + Ar, 6 -f A6 les coordonnées d'un point X infiniment

voisin de M. L'accroissement AO = MON fait prendre à U l'accroissement AU = MON. Si de O comme centre on décrit les arcs de cercle M/î, N/ii, AU est compris entre les secteurs circulaires MO/i, mON. Or, les arcs de cercle M/i, /?iX sont égaux à rA6, (r -j- Ar)A6; donc les aires des secteurs MO/i, mOX sont

ir2Ae,i(r + Ar)2A6,et

i r°Aô < AU < i (r + Ar)*A6 ;

d'où

2 " A0 " 2 Faisons tendre Aô vers zéro; le rapport -.-- aura pour limite

la dérivée -^- > et comme il est compris entre ~ r2 et une quan-

tité qui tend vers - r2, on a

dX 1 2 ^6 2f '

^U=^r2^6=^ lF2(ryô.

Xeuberg — An. inf , /.

— 194 ~ Soit a l'angle YOX : en raisonnant comme an § 204, on trouve

Application. — Un secteur de la spirale logarithmique r = aO a pour aire

rt26-6 ] az6 tt2a

1 re 1

2 fa

208. Coordonnées rectangulaires. — Entre les coordonnées rectangulaires x, y et les coordonnées polaires r, 0 du point M, on a les relations

r2 = x2-\-y2, tgO =

Ecrivons la dernière ainsi

0 = arc tg - ; 6 a?'

en différentiant on trouve

xdy — ydx xdy — xdy

On en conclut

d\J *=-{xdy— ydx),

i rM

l = - j | (xdy —ydx).

Xous indiquons ici les limites de l'intégrale en écrivant les extrémités de l'arc.

Si les équations de la courbe sont x == f(t), y = o(fJ et si t0, t sonfe les valeurs de t aux points A, M, on a

Longueur d'dn arc de courbe.

2G9. Coordonnées rectangulaires. — Par définition, la longueur d'un arc de courbe AM (fig. 31) est la limite du périmètre d'une ligne brisée inscrite ABC ... LM dont les côtés diminuent

indéfiniment. Nous allons démontrer que ce périmètre tend vers une limite indépendante du mode d'inscription de la ligne brisée. Soient c la longueur d'un côté quelconque de cette ligne, et (x,y), (x 4- A#, y -j- ày) les coordonnées des extrémités de ce côté ; on a

c =, s/lïïyTïïvr -àœ^i+ || )2 •

Si l'équation de la courbe est y = F(.v),

lim ^ - F», d'où ^=»p'(»)+., s étant infiniment petit avec A.v ; par conséquent

c = Ax X 1 + ÎF'(tf) -h e]2 = A.r(\/ 1 -f Fr*(a?; + t\),

où ï) désigne une quantité qui tend vers zéro avec hx.

Appelons a, xx, x2, ... xn—\, x les abscisses des sommets A, B, C, ..., L, M de la ligne brisée. Le périmètre de cette ligne a pour expression

XA^VT+F^W-f-n), (1)

x recevant successivement les valeurs a, xx, x2, .. xn-\, et Ax représentant les différences xt — a, x2 — xu ..., x — xn f. Quand les côtés du contour polygonal AH ... LM diminuent indéfiniment et que l'on passe à la limite de la somme (1), on peut négliger les termes de la forme i\&xt qui sont infiniment petits d'un ordre supérieur (29); la somme des autres termes a pour limite l'intégrale définie \*\J 1 + F'2(x)dx. Donc si s désigne la longueur de l'arc AM et qu'on écrive y' au lieu de F'(.v), on a (205)

ds =-. \jV+i/2dx = \jdx^~-\-~dy-.

210. Remarques. — I. La limite du rapport d'un are indéfiniment décroissant à sa corde est égale à limité.

Soient (fig. 31) s l'arc AM, (x, y) les coordonnées de M, (x 4- &x), y -f- Ay) celles d'un point N infiniment voisin de M, As l'arc infiniment petit MN et c la corde. On a

As ds

' . As ,. As ,. A r Sx

lim — =» hm , =^=^- = lim — = = =- = 1 .

II. Soient M P, XQ les ordonnées des points M, X ; en menant Mm parallèle à OX et désignant par B le point de rencontre de QX avec la tangente MT, on a (36)

Fie 38.

Mm = dx, mB = rfy, MB =\ Mm " -f mB" = \!dx2 + d?/2;

donc la différentielle c/s est égale a a segment MB de la tangente qui se projette sur OX suivant dx.

III. Appelons a l'angle MTX == BMm. Le triangle rectangle MBm, dont les côtés sont égaux à dx, dy, ds, donne

COS a

dx ds

sm a =