Î-VS*T

Soient a et 0 les angles polaires des extrémités d'un arc AM d'une courbe ayant pour équation r = F(8); on voit facilement

que

Exemple. — L'arc de spirale logarithmique a pour expression

s= f y/r'2|r2rf6= feVF,2(6) + F2(6>/0.

f a6\;l -f l2adù = (aï — a*)

la

Courbure des lignes.

212. Angle de contingence. — L'angle de contingence, en un point M d'une courbe MB (fig. 39), est V angle que fuit la tangente en ce point avec une tangente infiniment voisine; plus exactement, c'est la partie principale de V angle de ces tangentes.

Soient (x, y) les coordonnées de M, (x -f- Aac, y 4- A//) celles du point infiniment voisin M', a et a -f- Aa les angles MTX, M'T'X des tangentes en ces points avec l'axe OX. L'angle de ces tan-

Fig. 3g.

gentes, égal à Œt', a pour valeur absolue Aa ; en prenant pour l'angle de contingence la partie principale tfa de Aa on attribue à cet angle un signe : il est positif ou négatif suivant que l'angle MTX croît ou décroît avecx, c'est-à-dire suivant que l'arc MM' est concave vers le haut ou vers le bas (*).

Si x est la variable indépendante, on trouve en dérivant les deux membres de l'égalité a =. arc tg y' :

doi

dx

dos.

y"dx

ïTy5

Lorsque la courbe est représentée par deux équations de la forme x = f[t), y = ©(£), on a

dy

dx

a = arc tg

où dy = y\t)dt, dx = f\t)dt; on tire de là :

,dy dx dxd'2y — dyd2x

dy

dx

dix = —

dx2 -f- dyli

(*) On sous-entend que A-v est positif ou que labscisse de M' est plus grande que celle de M.

Enfin, en coordonnées polaires, si on désigne par a l'angle de la tangente avec l'axe polaire et par V l'angle de cette tangente avec le prolongement du rayon vecteur, on a