f arc tg -jt
Par conséquent
do. ■— dti 4
ua
r9 = dt> +
tfO
rr
dO. (3)
213. Définition de la courbure. — On appelle courbure totale d'un arc de courbe MB (fig\ 39) l'angle des tangentes à ses extrémités : c'est l'angle dont la tangente Mf tourne quand elle roule d'une manière continue sur l'arc MB.
La courbure moyenne de l'arc MB est le quotient de la courbure totale divisée par la longueur de l'arc.
La courbure d'une ligne MB en un point M est la limite de la courbure moyenne d'un arc MB dont la seconde extrémité se
rapproche indéfiniment de M; on la représente par - — • Pour
passer à la limite, il suffit de remplacer la courbure totale par
l'angle de contingence c?a, et l'arc MM' par la différentielle ds
de l'arc AM. Par conséquent
ds
Ainsi, la courbure en un point d'une courbe est égale au quotient de l'angle de contingence par la différentielle de Varc.
Fig. 4o.
214. Centre et rayon de courbure. — La courbure moyenne d'un arc de cercle M M' Cflg. 4°) est égale à l'inverse du rayon R :
car si s représente l'angle des tangentes MT, M T', l'angle au centre MOM' est égal à s et par suite l'arc MM' a pour mesure 1U. La courbure moyenne étant indépendante de la longueur de
l'arc, la courbure en chaque point a la même mesure •
On appelle cercle de courbure en un point M d'une courbe un cercle qui touche la courbe en ce point, tourne sa concavité du même côté et a même courbure que la ligne donnée. Le rayon et le centre de ce cercle portent les noms de rayon et centre de courbure. Ce ra3ron est précisément la quantité R de la formule (213)
1 dy. ds
R ds d%
On a trouvé par ds les expressions (209, 211) :
\Ji + yl2dx, \Jdx2 + dy2, \lr- + r'2 c/0 et pour rfa :
y"dx dxd2y — dyd2x r1 -f 2r'2 — rr"
