f y'2 dx2 + dy2 r* + r
par conséquent :
(dx- + di/-Y dxd2y — dyd2x
215. Applications. — I. Parabole. En prenant l'axe de la parabole pour axe des y, on a
par suite
JM
II. Ellipse. Nous représentons la courbe par les formules x = a cos t, y = b sin t; alors dx — — a sin t di, dy = b cos t dt
d°-x = — a cos t dt~, d'2y == — b sin t dt~, et la seconde valeur de R donne
(a2 sin2 1 -f- £2 cos2 ^2
ab III. Spirale logarithmique. — On a
r = a^, r' = a® la, r" = cfîlza ;
il en résulte
R - a\\ -h Ihif = r(ï + £2a)2.
Donc, te rayon de courbure est égal a la normale polaire.
216. Théorème. — Le centre de courbure en un point M d'une courbe est : 1° la limite du point de rencontre de la normale en M avec la normale au point infiniment voisin M'; 2° la limite du point de rencontre de la normale avec la perpendiculaire au milieu de la corde MM'.
Prenons pour axes coordonnés la tangente M£ et la normale Mœ (fig. 3g). Si l'équation de la courbe est y — F (a*), on a F(o)=0, F'(o) = 0, et le rayon de courbure en M a pour expression
1° Soient a*, y les coordonnées de M'; la normale en ce point a pour équation
Y-y = -ir(X«-<t).
Appelons 0) le point où elle coupe la normale menée en M; la distance Mw est la valeur de Y qui, dans l'équation précédente,
correspond à X «= 0. Donc Mw = y -\- — > et si M' tend vers M,
lim M 10 = lini
Or, le théorème de Mac-Laurin donne
ij =, F'(x) = F'(o) -f scF"(ba) = xF"(0r). En portant cette valeur de y' dans l'égalité (1), on trouve
lim M» = -L R.
2° Désignons maintenant par w le point où la normale menée en M est rencontrée par la perpendiculaire élevée au milieu de la corde MM'. Si l'on fait Mw = Y, l'égalité u,M = wM' donne
Y2 = (Y - yf + x\ d'où Y = ~ + 1 •
On en conclut en faisant tendre M' vers M :
oc lim Mw = lim — • (2)
Or, la formule de Mac-Laurin donne
ou simplement ?/ = -,y F''(0a*). Cette valeur étant substituée
dans l'égalité (2), on trouve
lim Mu. = p,,- - R.
217. Corollaire. — La dernière proposition est équivalente à celle-ci :
Le cercle de courbure en M est la limite du cercle qui touche la courbe en M et passe par un point M' infiniment voisin de M.
Exercices et notes.
1. La cubique y = x [x — l)(x — 2) coupe Taxe des x eu O et eu deux
autres points A et B ; trouver l'aire limitée par la courbe et par la corde
OA, ou par la corde AB» ( Réponse : — j — - ].
2. La courbe y- = x- — .x*4 a la forme oo : trouver l'aire. Réponse : - | .
3. Trouver l'aire limitée par l'axe des x et l'arc de la courbey = oc2 — xA
situé au-dessus de 1 axe O.v. i Réponse : — .
v loy
4. Trouver l'aire d'une arcade de la sinusoïde y = sin x. {Réponse : 2).
5. Trouver la longueur d'un arc de la courbe y = - (e* -\- e~%).
6. Trouver l'aire d'un secteur de la spirale d'Arcliimède (r=aQ.), ou de la spirale hyperbolique I r = - 1, ou d une foliole de la courbe r = à sin 20.
