Le rayon de courbure de la courbe ~F(x, y) — 0 est
x xx1 y ^■L xyx x1 y n^ -1- yyx x.
9. Prenons pour axes coordonnés la tangente MX en un point M d'une courbe et une droite quelconque MY. La limite du rapport -- est égale à
la corde interceptée sur MY par le cercle de courbure; le rayon de courbure est égal à la limite de :
2ysinXMY
Conclure de là l'expression du rayon de courbure en un point M d'une conique, connaissant le diamètre passant par M et le diamètre conjugué.
10. Une courbe est définie par les équations x = f(s), y = <o(s), où s est l'arc de la courbe depuis un point fixe jusqu'au point M.(x, y). Soient a l'inclinaison de la tangente sur OX, R le rayon de courbure, (X, Y) les coordonnées du centre de courbure. Démontrer les formules
COS a = f, sill a = <p', /"- -f tp'2 = 1 ; sin a = - Rf", COS a = Rp", f"2 -f cp"2 = i- •
11. La différence entre un arc infiniment petit et sa corde est du troi-
ds3 sième ordre; elle a pour partie principale - w- •
Soient x = f(s), y = ©(5) les équations de la courbe ; on a
\x = f(s-\-ds)- f(s) = f(s)ds + 1 f"(s)ds2 4- l f"(s)ds* 4- • . • ,
Ay . - ?(S 4- rf») — r(^y — r s)ds + ô ?"(*)** +" ^ ?'" s)rfs3 + • • •
Soit c la corde de l'arc As; on trouve facilement
c2==(Aa?2)+(Ay>2-=f/,'2+cp'2)^2+(/y/,"+<p'cp'Vs3+
cfe44-.
Mais on a Z"'2 -}- rf '2 = 1 ; d'où
/y | ?y/ = 0, f'2 4- cp "2 4- /7,f" 4- cp'cp"'
" flfe<
GTS + C
Ll2R2
inlf» de r/<î — /?
pst doue •
on en conclut
12. La distance d'un point M' d'une courbe à la tangente au point infiniment voisin M est égale, aux termes du 3e ordre près, au carré de l'arc MM' divisé par le double du rayon de courbure.
14. Dans l'hyperbole équilatère, le rayon de courbure vaut la moitié do la corde normale ; il est égal à la normale polaire, le pôle étant au centre.
oG
15. Trouver le rayon de courbure de la cardioïde r = 2a COS2 - •
16. Lorsqu'on un point d'une courbe on aj/" = 0, l/'" = 0, ... y(n~ ^ = 0, z/{n) ^4 0, l'angle de la tangente en ce point avec la tangente infiniment voisine a pour partie principale
yWdx;*-1
17. Le rayon de courbure de la spirale rn = a sin nO est égal à la fraction , — - — de la normale polaire.
