CONTACT DES COURBES PLANES

GÉNÉRALITÉS

218. Définition du contact d'ordre n. — Soient A, A' (fig. 41)

deux courbes qui ont un point commun M. Supposons que

d'après une loi donnée {*) on fasse correspondre à tout point N de A un point déterminé N' de Af; cette loi peut être quelconque, sauf que le point M doit être son propre homologue sur les deux courbes. Si la distance MX devient infiniment petite, il en est de même des distances MX' et XX'. Ces trois distances sont, en Fig. 41.

général, du même ordre infinitésimal. Car, si l'on appelle M, X, X' les angles du triangle MXN',

MX'

MN

NN' MX

sin M sin N'

Lorsque X tend vers M, les directions MN, MN' ont pour limites les tangentes MT, MT'; la direction XX' tend vers une limite déterminée MU. On a donc

lim

MX' sin UMT

MX sin UMT'

lim

XX' sinTMT'

MX

sin UMT'

par suite, MX' et XX sont du même ordre infinitésimal que MX. Si A et A' se touchent en M lfig. Ça), les égalités (2) deviennent

.. MX' NN'

lim = 1, hm -vr^ ==■ 0.

MX

MX

MX' est encore de l'ordre de MX, mais XX' est d'un ordre supérieur.

Cela posé, deux courbes A, A', qui ont môme tangente en M, sont dites avoir en ce point un contact d'ordre \\, quand la distance de deux points homologues X, X', infiniment voisins de M, est d'ordre u-f 1 par rapport à la distance MX. Dans cette définition, on suppose établie entre les points des deux courbes une correspondance telle que le point M soit son propre homologue.

O Par exemple, les points X et N' sont sur une droite passant par un point fixe; ou l'arc MN' est égal à l'arc MN, etc.

L'ordre du contact est indépendant du mode particulier de correspondance des points X, X'. En effet, si une autre loi l'ait correspondre à N le point N„ le triangle NX X\ donne

NN, sin NNfN1 NN' ~ sinNNiN'

Or, lorsque X tend vers M, les droites NN', NN, tendent vers des positions déterminées MU et MU! ; N'N, a pour limite la tangente commune MT. L'égalité (3) devient

lim

sin UMT