NN
NÏV = = sin U,MT
Donc NN", et NN' sont du même ordre.
219. Conditions du contact d'ordre n. — Soient (fig. £3) AMB, A'MB' deux courbes qui se touchent au point commun M(x, y). Convenons de regarder comme points correspondants des deux courbes deux points situés sur une même parallèle à OY (ou ayant la même abscisse). Alors ces courbes auront un
Fig. 43.
Fii
fv s
hsr
contact d'ordre n en M si la différence BB' des ordonnées DB, DB' appartenant à une même abscisse OD = x -f- h est d'ordre 7i+l par rapport à la corde MB ou, ce qui revient au même (37), par rapport à PD — /7.
Soient y—f(pc), y = v(x) les équations des deux courbes. On a : DB = f(x + h)=f(x) + hf\x) + ...+ £/-""(*) + (^j[fin+1)^+ •*), DB'-=çf«+A) = •{*) + hf'(x) -f- ... +-- >)(.-<;) + ,— ', n<*ln+1)(x+Qih);
il . \lt I i. J .
d'où, en posant o == B'B =-- f(x) -\- h) — v(x -f h),
o = h\f(x) - *'(*)] + ~ [f"(œ) - ?"(x)} + ... + ~[f*\oc) - f)(œ)]
Pour que o soit d'ordre jî -f- 1 par rapport à h, on doit avoir f[x) = u'(x), f"(x) = v"(x), ..., fW(x) = ^)(œ),
Donc, pour que deux courbes aient, en un point commun, un contact d'ordre n, il faut et ii suffit qu'en ce point les dérivées de leurs ordonnées par rapport a l'abscisse soient égales jusqu'à V ordre n inclusivement.
220. Différence entre le contact d'ordre pair et le contact d'ordre impair- — On vient de trouver
Pour toutes les valeurs infiniment petites de A, positives ou négatives, la quantité entre crochets a le signe defrn+l\x) — ©fr+^ac).
Si n est pair, o a un même signe pour h positif ou négatif et, par exemple, DR > DB', CA > CA' (fi g. 43). Donc, deux courbes qui ont un contact d'ordre impair s'embrassent au point commun.
Si n est pair, o change de signe avec h et, par exemple, DB > DB', CA > CA' (fi g. 44), les deux courbes étant AMB' et A'MB. Ainsi, deux courbes qui ont un contact d'ordre pair, se traversent mutuellement au point commun.
221. Autre méthode. — Considérons deux courbes {fi g. 4%) définies par les équations
Aj x = f(t), A, ( a?-F{T),
I y =AW; ' ! y-F,(T>-
Nous établissons une correspondance entre leurs points en considérant comme homologues deux points dont les paramètres /, T vérifient une relation donnée T = ty(t). En remplaçant T par ty(t) on obtient pour A' des équations de la forme
# = <?(*}, y-?iW. (A')
et deux points homologues correspondent maintenant à une même valeur de t.
Le point M commun aux deux courbes étanl son propre homologue, il correspond à une môme valeur t - a dans les équations
de A et A'; ses coordonnées sont donc
Prenons sur les deux courbes deux points homologues X, X', infiniment voisins de M; leurs coordonnées sont
/i étant infiniment petit.
La distance MX est du premier ordre, car ses projections sur les axes coordonnées sont
f(a -|- h) — f[a), ©(a -f A) — cp(a),
quantités du premier ordre en h.
Si les deux courbes ont en M un contact d'ordre n, la distance XX' est d'ordre n -f- 1 par rapport à MET, ou, ce qui revient au même, par rapport à h. Pour cela il faut et il suffit que les projections de XX sur les axes, savoir
fa -f- h) — ©(a -f- h), f\ (a -f h) — v-(a -f h
soient d'ordre n + 1 (*). En raisonnant comme plus liant (219), on trouve que les conditions cherchées sont
/» = ©'(«), f"[a)^f(a), ... fW(a) = »!»){a),
A(«) = ti(«). AW - ?i'W. •■• /i(n)(«) = ?i(n)(«)-
D'après cela : Si deux courbes ont en un point M un contact d'ordre n, les différentielles des coordonnées de M calculées sur lune et Vautre courbe sont respectivement égales jusqu'à l'ordre n inclusivement.
Le nombre des équations de condition est supérieur à celui qu'on a trouvé dans la première méthode ; la différence tient au mode particulier de représentation des courbes A, A'. On
(*) L'une des projections pourrait être d'un ordre supérieur.
retrouve les conditions du § 219 en remplaçant les équations x = fit), x = o(t) par x = t.
222. Remarques. — I. Deux courbes qui ont en M un contact d'ordre n, peuvent être considérées comme ayant n autres points communs, infiniment voisins de M.
En effet, h désignant un infiniment petit du premier ordre, appelons points consécutifs de la courbe A deux points qui correspondent aux valeurs /, t -f- h du paramètre. Les coordonnées du point consécutif au point M(x, y) seront x -f- Aac, y -f- Ay, ou x + dx, y + dy en négligeant des infiniment petits d'ordre supérieur. Le point consécutif an point (x -f- dx, y -j- dy) a pour coordonnées
x ~\- dx -\- d(x -f- dx) = x -}- 2<r/.r -j- c?2#, ?/ -f- 2<fy -f- c?2y ;
le point suivant aura pour coordonnées
x -f- 2û?a? -f- d~x -f- o?(# + 2ofo? -f- c?2#) = ^ + 3dx -\-3d*x -\- dzx, etc. ;
ainsi de suite.
Les choses étant entendues ainsi, deux courbes qui ont en M un contact d'ordre n, ont en commun n points consécutifs à M.
IL Voici une interprétation des conditions trouvées au § 219.
Si x et y sont les coordonnées du point M, les points communs aux deux courbes sont déterminés par les valeurs de h qui vérifient l'équation f x -\- h) — <&(x -\- h) = 0. Or, cette équation a la forme
\fn+x{x + M) — yn+\x -f 6,/*)] =0;
elle admet n + 1 fois la racine h = 0. Donc (n -f- 1) points d'intersection des deux courbes sont réunis en M.
Courbes osculatrices.
223. Soient A une courbe complètement donnée, A' une courbe seulement donnée d'espèce (par exemple une circonférence, une parabole, etc.). Si l'on détermine la ligne A' par la condition qu'elle ait avec A, en un point donné M, le contact de 1 ordre le plus élevé, elle prend le nom de courbe osculatrice.
Soient
les équations des deux courbes; la fonction F(x,y) (>*i entièrement connue, tandis (jue la fonction f(xiy,a1ali ...), bien que donnée, renferme un certain nombre de paramètres a, alf ... dont on peut disposer. Si ces paramètres sont au nombre de n -\- 1, on peut imposer à A' un contact d'ordre n. En effet, considérons les équations
dx dy
():c2 dxdy* dy~ ùy
r)xn ' dxn~ldy J <)yJ
Si Ton y remplace .v, y par les coordonnées de M, la première exprime que A' passe par M, et les autres donneront les valeurs de y\ y", ... y'11 relatives à ce point de A'. Par conséquent, en substituant à ces dérivées leurs valeurs tirées de l'équation F(x, y) = 0. on exprime que A et A' ont en M un contact d'ordre n. Mais on a ainsi 77 -{- 1 équations de condition (A) qui peuvent servir à déterminer un égal nombre de paramètres a, an ...
224. Remarques. — I. Parfois, en des points convenablement choisis de A, la courbe A' acquiert un contact d'un ordre plus élevé qu'aux autres points; on dit alors qu'il a saroscalation.
II. Pour étudier une ligne donnée A dans le voisinage de l'un de ses points, on lui substitue une ligne plus simple, ayant avec elle en ce point le contact le plus élevé. Si une question n'emploie que les dérivées des n premiers ordres de l'ordonnée par rapport à l'abscisse, on choisit une ligne, de nature plus simple, ayant avec A un contact d'ordre /?. Par exemple, quand les dérivées des deux premiers ordres interviennent seules, on remplace A par son cercle oscillateur.
Xeuberg. — An. Inf. I. 14.
