DÉVELOPPÉE D'UNE COURBE PLANE
228. On appelle développée dune courbe plane le lieu des centres de courbure de ses différents points. Inversement, si une courbe A' est la développée de lu courbe A, on dit que A est la développante de A'.
Soit Ki,\\ y) — 0 l'équation de A. On obtient celle de Af en éliminant x et y entre les équations
oo — a + 0/ — p)y' = 0,
où l'on remplace y' et y' par leurs valeurs tirées de Fia*, y)=0.
229. Propriétés de la développée. — 1° Les normales à une courbe sont tangentes à sa développée. 2J Un arc de développée équivaut à la différence des deux rayons de courbure menés pur ses extrémités à la courbe proposée.
Les coordonnées (x, y) d'un point M d'une courbe A (fig. Q6),
Fig. 46.
les coordonnées (a, (3) du point correspondant X de la développée A' et le rayon de courbure R sont liés par les équations
X — a-f (y — py-0, (?)
i+y" + (y-P)y" — o. en
1° Si l'on dérive l'équation (2) en considérant y, 3, y, y' comme des fonctions de .\\ on trouve
i-| + (y-P)y"+(y'-J)y = oi
en soustrayant cette relation de l'égalité (3), on obtient
r/oc f/3 . „ ., d'à
dx l S ^ °' <1(,U ,/'a
Or, .' est lé coefficient angulaire de la tangente en X à la
dx
développée, — . est celui de la normale MX en M à la courbe
donnée; comme ils sont égaux, les deux droites coïncident.
2° Dérivons l'équation (l) on considérant y, x, (3, R comme des fonctions de .v ; il vient
en soustrayant cette égalité de l'équation (2) on obtient
(# ak/a + [y 3)r/3 = RtfR. (A)
La droite MN a pour coefficient angulaire L et aussi / ;
par suite
oo— a // — p \/^ — a')2 + ^ E" *3j* ?
<* désignant l'are IN de la développée compté a partir d'un point fixe I de la courbe. Des égalités (5) on tire
Portons ces valeurs de .v — a et y -- (3 dans l'équation (4); il vient
Rc/f -f.R^=— RdR,
ou simplement
tfa=— dR, OU cr-fR ,.<',
C désignant une constante. D'après cela
IN -f NM - IN' + N'Mr, ou arc NN' - NM - N'Mf.
Remarque. — Pour démontrer les propriétés de la développée, on peut inscrire à A un polygone ABCDE ..., considérer le polygone qui a pour sommets les centres des circonférences ABC, BCD, CDE, ... et dont les côtés sont perpendiculaires aux milieux des droites AB, BC, CD, ..., puis passer à la limite en faisant tendre les cordes AB, BC, CD, ... vers zéro.
230. Corollaire. — La somme » -f- R étant constante, supposons qu'un fil flexible et inextensible de la longueur C, attaché en I par une de ses extrémités, soit enroulé sur un arc de développée. Si l'on déroule le fil, il restera tangent à la développée, et son extrémité libre décrira la développée.
Si l'on change la longueur du fil, l'extrémité libre décrira une autre courbe min'. On voit qu'une courbe A n'a qu'une seule développée A', mais une même courbe A' a une infinité de développantes A. Toutes ces développantes coupent normalement les tangentes de A' et sont des courbes parallèles (*) ; autrement dit, une développante d'une courbe donnée A' est une trajectoire orthogonale de ses tangentes.
Cercle osculateur des coniques.
231. Ellipse. — ■ Le centre et le rayon de courbure résultent des formules (226)
1 \-ir
On a, dans l'ellipse,
a-y -j- b-x- — a-u-, a*yyy -f ^ = 0, a2//'2 + a2^" h &'2 == 0 ;
d'où
Portons ces valeurs dans la première des formules (1); il vient
u\?r h à4œz crb4 — a4ij- — b*x2
aHr
aV/
Remplaçons xz par sa valeur tirée de (3); nous aurons pour (3 et, par analogie, pour y. les expressions
c'-cc
Pour avoir l'équation de la développée, nous tirons de (5) :
bjy
'Si, sur les normales (l'une courbe A, on porte à partir de cette ligne, une longueur constante, le lieu de l'extrémité est une courbe Ai ayant les mêmes normales que la première. Les courbes A et Ai sont dites parallèles.
en faisant la somme des carrés nous aurons
Cette équation, rendue rationnelle, devieul
(asas | . &2|32 C4)3 j 27a262c4a2|32 - 0 ;
la développée de l'ellipse est doue du 6e ordre.
Le rayon de courbure se déduit des formules (2) et (4) :
En remplaçant y: par sa valeur tirée de (3), on obtient
Pv -
(g4 — c*xzy
On voit que R croit d'une manière continue quand le point jV1(#, y) parcourt l'arc AB (fîg. $-). En A, il a sa valeur mini-
Fig. 4:- Fier- &.
muni ; en B, sa valeur maximum-, • Ainsi, le rayon de coura l>
bure, en un sommet de l'ellipse, est une troisième proportionnelle au demi-axe passant par ce sommet et à l'autre demi-axe. Ç'
(\i Les sommets C, C de la développée sont situes entre les deux foyers de l'ellipse: les sommets D, D' sont extérieurs ou intérieurs à l'ellipse ou se confondent avec les extrémités B, B' du petit axe suivant que a > b v'2, a < b [ 2, a = b v '2.
Soit E le point de rencontre des tangentes à l'ellipse en A et B ; la perpendiculaire abaissée de E sur la droite AK passe par les 'points C et D'.
L'arc CD de la développée a pour mesure la différence des
rayons de courbure en B' et A, ou \
232. Parmi les expressions de R nous signalons les suivantes : I. Soit (/ la distance du centre à la tangente MT ; on a
. - > d'où (a v + b'^2y = ,
La valeur (6) peut donc prendre la l'orme
II. Soit a! la longueur du demi-diamètre OM' parallèle à la tangente MT. Le parallélogramme construit sur OM et OM' a pour surface a'd; comme il est équivalent au rectangle ab, l'égalité (8), si l'on remplace ab par a'd, donne la formule de Dupin :
Cette valeur se construit par une troisième proportionnelle.
\\\. Soit (fig. ^.8) il la normale MX arrêtée au grand axe. On a trouvé (227)
Remplaçons y" par la valeur (4) et posons ■ — p ; il vient
R-JL. (0)
IV. D'après un théorème connu, la projection MP de n sur le rayon vecteur MF est égale à /;; doue, si À désigne NMF, on a p = n cos X, et la valeur (9j peut prendre la forme
COS' A v y
De là cette construction très simple :
Au pied N de la normale, mener une perpendiculaire XII, <?/ ;<c/ point II oh ce/fc perpendiculaire coupe MF, mener sur ce
rayon vecteur une perpendiculaire IF'», qui coupe la normale en w : oj est le centre de courbure en M.
233. Hyperbole. — Il suffit de changer b- en — bl dans les calculs précédents.
La développée (/?»•. ft) a pour équation
elle a deux rebrousseuieiits sur l'axe transverse. 234. Parabole. — On a
y*=2poc, yy'=p, yy" + y'z==0, d'où y' = J, •'--£■
Portons ces valeurs dans les formules (1) et (2); il vient
y(yz -V ï>~) ir
p (y*+pV »'
n désignant la normale MX arrêtée à l'axe. Les deux premières égalités donnent
puis, à cause de y2 = 2px,
La développée est donc une parabole semi-cubique, dont le
point de rebroussement est le symétrique du sommet par rapport au loyer {fi g. 5o).
La relation y. = -*Ja* -f- p peut prendre la forme
Or, a — .v est la projection du rayon de courbure MX sur
l'axe, et x -- %) est la distance de M à la directrice. On en
conclut que le rayon de courbure est double du segment de lu normale compris entre tu parabole et la directrice.
On a, comme dans l'ellipse, 11 = r, ; la construction donnée
cos-a
ci-dessus (232 IV) est encore applicable.
Exercices et notes.
1. Soit Y(x,y) = 0 l'équation dune courbe; on a pour le cercle oscula-
leur :
Pv
xx y xy x y ' yv x
RF
RF
