Trouver l'équation de la développante du cercle
Le pôle étant au centre du cercle et Taxe polaire passant par le point commun aux deux courbes, on trouve
0 = - V r- — a- — arc cos • a ' r
10. Constructions diverses du rayon de courbure en un point M dune ellipse.
1° D'un point quelconque T de la tangente menée en M, on abaisse des perpendiculaires sur la polaire de ï et sur le diamètre OM : ces perpendiculaires interceptent sur la normale en M un segment égal au rayon de courbure.
2° Par le point P où la normale en M coupe un axe, on élève une perpendiculaire PB à cette normale: par le point B où PB coupe le diamètre OM, on mène la perpendiculaire à l'axe OP : cette droite passe par le centre de courbure. (MANNHEIM.)
3° Si u. o sont les rayons vecteurs MF, MF', f/, l'angle FMF', rfla distance du centre à la tangente, on a
■ -4- — 1 i Formule de Petit.
R cos k U V
4° Le cercle oscillateur en M coupe l'ellipse en un second point M' : la
corde d'oscillation MM' cl la tangente en M sont également inclinées, niais en sens contraires, sur un axe.
5o La tangente en M rencontre les axes en I*, (,) ; on construit le rectangle OPSQ. La perpendiculaire abaissée de () sur la droite SM passe par le centre de courbure. (de LONGCHAMPs.)
6? Soit M' le symétrique du centre de courbure par rapport à M. Le cercle décrit sur MM' sur diamètre coupe orthogonalement le cercle circonscrit au rectangle des axes (cercle de Monge). M' est sur la polaire de M par rapport au cercle de Monge. (Steiner.)
7° Soient X et N', ï et T" les points où la normale et la tangente en M rencontrent les axes. La droite qui joint les milieux des segments NT, ^X'T' passe au milieu du rayon de courbure Mto.
11. Soit p la distance du pôle à la tangente au point ayant pour coordonnées r, 0 et soit - = u. Démontrer que
n Tl p __ rdr , p (n2 + U'2)2 .
\ r2 | r'2 dp ît3(lC -{- U")
12. Lieu des foyers des paraboles qui ont avec une courbe donnée, en un point donné, un contact du second ordre.
On prend pour axes la tangente et la normale; alors pour x — 0, on a V — 0, y' = 0, //" = u • La parabole étant représentée par
(x — a)'2 -\- (>/ — ri)~ = (x eos 0 -J- y si 11 ô — p)-y
on dérive deux fois cette équation et l'on fait x = 0, y = 0, y' = 0, y"- = '■> en éliminant p et 0 entre les équations de condition, on obtient
Le lieu est une circonférence qui a pour diamètre le rayon de courbure. Les directrices des paraboles passent par un point fixe.
13. Lieu des centres des hyperboles équilatères qui ont un contact du second ordre avec une courbe donnée en un point donné M.
Ces hyperboles passent par trois points fixes confondus en M] ; donc le lieu des centres est une circonférence dont le rayon est la moitié du rayon de courbure. Les hyperboles passent par un second point fixe.
14. Par tout point P d'une ellipse passent trois cercles qui oscillent la courbe en trois autres points M, M', M". Les points M, M', M", P sont sur une même circonférence, et le centre de l'ellipse est le centre de gravite du triangle MM'M». (Steiner.)
Pour démontrer cette élégante proposition, on peut s'appuyer sur la propriété suivante: Lorsqu'un cercle coupe une ellipse aux points Q,Q\Q",Q''', les cordes QQ', Q"Q'" ont les directions symétriques par rapport à un axe.
Si l'on désigne les coordonnées des points Q, (,)'. ;/ eos a', b sin a'), ..., cette propriété donne
par «•/ eos a. h sin y.
Pour avoir un cercle oscillateur, on t'ait coïncider Q" et Q'" avec Q ; donc la tangente en Q et la corde d'oscillation QQ' (voir ex. 10, 4°) ont des directions symétriques par rapport à un axe de l'ellipse, et les angles paramétriques des points Q, Q' vérifient la relation 3a -|- a' = 2k~ Si l'on donne le point Q' ou a'i, l'égalité précédente détermine trois valeurs distinctes de y,
a savoir —
; les valeurs À- 3, 4, 5, ... donnent les
