On a l'identité de Lagrange
(a* 4- i,i 4- c2) (a'- -h à'2 4- c'2) — [aa! -{- W + ce')2 « {bc* — è'c)2 4- (ca' — c'a)" + \ah{ — a'bf. 2° Des équations homogènes
ax -\- by 4- cz - 0, oùx 4' b' y -\- c'z = 0,
on tire
bc' — b'c ca '— cV< ab'—a'b
236- 1° Soit AB (//»•. 5s) une droite sur laquelle on a fixé la direction des segments positifs (indiquée par la flèche). Menons par l'origine des coor-
Fig-,
Fig-. 53.
données une demi-droite OF parallèle à AB, et appelons a, [3, y les angles de OF avec les axes coordonnes O.v, Oy, Oc. Ces angles sont appelés les angles directeurs de AB ; ils vérifient la relation
cos2 y. cos- S 4- cos
La droite AB est déterminée si Ton se donne les coordonnées .v0, J'o, s0 d'un point C de cette ligne et les angles directeurs -/, |3, •;. Appelons .v. y, s les coordonnées d'un point M mobile suc AB, et soit p le segment CM en
grandeur et en signe.
Les projections de CM sur les axes coordonnes s'expriment d'une part par x — xQ, y — y0, z — s0, et d'autre part par p cos x. p cos n, p cos y ; on en conclut les équations paramétriques de la droite :
x = <T0 -f g COS a, ?/ - ?/0 |- p cos ^ S — S0 + p cos y, et les équations symétriques
cos a cos (3 cos y
Pour ces dernières, on peut aussi prendre :
X 0CQ __ y .?/<) « ~ 0 ^
rt h C
a, b, c étant des nombres proportionnels à cos 2, cos 3, cos y, de sorte que
COS a = p- 1 COS 3 =
cos y = 7= - — — : •
Le signe du radical dépend de la direction positive de la droite. 2° Soit V l'angle des directions positives de deux droites dont les angles directeurs sont 2, 3, 7 et u', 3', y\ On sait que
COS V = COS 'J. COS a' + COS |3 cos p' -|- cos y cos y',
sin2 A' = (cos 3 cos y' — cos 3' cos a)2 -\- cos y cos a' — cos y' cos a/2
+ (COS a COS 3' — COS af COS 3/-' ;
la condition de perpendicnlarité est
cos a cos a' 4- cos 3 cos p' • j- cos y cos y' = 0.
Nous allons établir une autre formule qui est employée de préférence pour. les angles infiniment petits. Menons les droites (fi g. 53) OM, OM' parallèles aux directions positives des droites données et égales à l'unité. En les projetant sur les axes on trouve que les coordonnées des points M, M' sont
cos a, cos 3, cos y; cos a', cos 3', cos y'.
Joignons () au milieu X de MM'. Le triangle NOM donne
MN = OM sin MON, on \ MM' == sin - V; on en conclut
«sin g — \ (cos * — C()S *'/2 H~ (^'()* fi ~ cos 3'j- 4- (cos *, cos y')-
3° L'équation d'un pian passant par un point donné (xi,yi, Zi) est
A(x — xl) -h I>(// — .Vi)-W(~ — ~i) = 0.
On prend pour angles directeurs d'un plan, ceux que luit avec les axes une perpendiculaire au plan ; ils sont donnés par les formules
COS a = ; > COS B = - —
T Va- i- b2 + c- i \/a2 i- b2 4-c2
COS Y
± \/A2 + B2 + C2 4. Considérons un plan et une droite représentés par
A(a? — a?,) + B(y — yj + C(* — *L) = 0.
Si la droite est parallèle au plan ou est contenue dans le plan, on a
Art + Bb -f- Ce = 0.
Si la droite est perpendiculaire au plan,
a b c de sorte que l'équation générale d'un plan perpendiculaire à la droite est
a(x — a\) + b(y—yl) -f- c(z — zx) = 0, et les équations générales d'une perpendiculaire au plan sont
<• Ci
Représentation d'une courbe dans l'espace.
237. On appelle courbe gauche ou courbe à double courbure une ligne dont les divers points ne sont pas dans un même plan.
Une courbe, rapportée à trois axes OX, OY, OZ, est définie par le système des équations de deux surfaces dont elle est l'intersection :
F(œ,y,z)=0, Flv#, y,z) =- 0. (1)
Prenons pour ces surfaces les cylindres qui passent par la courbe et dont les génératrices sont parallèles aux axes OY, OX.
Neuberg, An. inf., i. 15
La courbe est alors représentée par deux équations de la forme
/•,.r,c) = 0, /i(y,*) = Gi (2)
on encore a? = <K-)> .V — ^i(^)- (3)
Les systèmes (2) ou (3) s'obtiennent en éliminant successivement y ou x entre les équations (1). On dit souvent, mais improprement, que ces systèmes représentent les projections de la courbe sur les plans XOZ, YOZ, les projetantes étant parallèles aux axes OY, OX.
Si Ton pose z == «2(0j ?«(') étant une fonction arbitraire d'un paramètre variable /. le système (3) prend la forme
Nous adoptons de préférence la représentation paramétrique d'une courbe, parce qu'elle conduit à des formules symétriques. Celles-ci contiendront les différentielles
dx = v'(t)dt, dy = ®\(t)dt, ds ■■= ii(t)dt,
dza u"[t)dt-, d*y = »", /).//-, d~z = *"2{t)dt*, ...;
mais on peut remplacer le plus souvent les différentielles par les dérivées correspondantes.
Nos formules s'adaptent également aux systèmes (3) ou (2 ; il suffit de remplacer l'équation z = -f2(t) par z = t et d'observer que z devenant la variable indépendante, d-z = 0, d3z = 0, ....
Enfin, lorsque la combe est définie par le système (1), on différentie une ou plusieurs fois les équations (1) en observant que d-z = 0, dzz = 0, ...; les équations ainsi obtenues déterminent les différentielles dx, dy, d2x, d-y. ... en fonction de dz.
238. Remarques. — I. Si une courbe est définie par les formules (4), ses projections sur les plans coordonnés sont représentées par :
( x = "p(0> \ y ?i(0i | z = ?*(0» 1 y = rx(J ; ' - = ?2W; / x= ?(')•
IL Soit M le point de la courbe (4) qui correspond à une
valeur donnée de t ; on dit quelquefois que c'est le point /, on qu'il a pour coordonnées /, .\\ y, z. Si l'on donne à / un accroissement infiniment petit, on obtient un point M' qu'on dit couse-
eut if h M et dont les coordonnées sont / -f- dt, x \ A.v, y \- Ay, z + As. On a
A.r = »(t |- dt) — *{t) = ipr(<)rf< + i f{t)dt* +
cette valeur et celles de Ay, A; peuvent être écrites ainsi :
A.v dx ' - d-jc -j . <Px -\- — d4x -\- . . , 2 b 24
A; = dz -f i tf«* + \ d3z + lA #z + ... •
Comme le passage à la limite pour dt — 0 se fait le plus souvent en remplaçant A.v, Ay, \z par les différentielles dx, dy, dz, on dit que le point consécutif à M a pour coordonnées / -f- dt, x -\-dx, y -f dy, z + cte.
Eléments fondamentaux d'une courbe gauche.
239. En chaque M d'une courbe gauche, on considère trois droites principales perpendiculaires entre elles deux à deux, et les trois plans menés par deux de ces droites.
1° La tangente MT (fi g. o/f] est la limite de la sécante qui
Fi g: 54.
joint M à un point M' de la courbe, infiniment voisin de M.
Tout plan mené par la tangente prend le nom de plan tangent.
2° Toute droite perpendiculaire à la tangente MT en M est une normale. Les différentes normales en M sont contenues dans un même plan perpendiculaire à MT et appelé le plan normal.
3° Le plan oscillateur est la limite du plan TMM' mené par la tangente MT et un point M' de la courbe qui tend vers M.
4° La binormale MB est la perpendiculaire élevée en M sur le plan oscillateur.
5° La normale principale MN est la normale située dans le plan oscillateur.
6° Le plan rectifiant est le plan BMT mené par la tangente et la binormale.
lia tangente, la normale principale et la binormale sont les arêtes d'un trièdre trirectangle MTNB ; les faces de ce trièdre sontle plan normal NMB, le plan BMT et le plan oscillateur NMT.
Nous emploierons les notations suivantes :
2, p, y, angles directeurs de la tangente;
X, p., v, » normale principale ;
l, m, )i, » binormale.
Différentielle de l'arc.
240. Par définition, la longueur d'un arc AM d'une courbe gauche est la limite vers laquelle tend le périmètre d'une ligne brisée inscrite ABC ... LM dont les côtés peuvent devenir aussi
petits (ju'on veut.
.Soient c un côté de la ligue brisée, et
t, .r, y, z ; t -f- A*, x + Xr, y -f &y, z -f- As les coordonnées de ses extrémités. On a
c - ViMH-CAyF-RA; -■ ^\/(t)+(Ï)+(ï
s, En £2 étant des quantités infiniment petites avec A^ ; donc
T) étant infiniment petit avec Af. Le périmètre de la ligne brisée a donc pour expression
t recevant successivement les valeurs a, tl9 t.,, . . , /,, , qui conviennent aux sommets A, B, ..., L de la ligue brisée. La somme (205)
sa*. V?'2(o + WtT+ïSï*,
lorsque les différences tY — a, t2 — tl1 ... diminuent indéfiniment, tend vers une limite déterminée, représentée par l'intégrale définie
la limite supérieure de cette intégrale étant la valeur du paramètre au point M. Mais la somme (1) a la même limite, car les termes r,. A/ sont infiniment petits d'un ordre supérieur (28j. Si donc s désigne la longueur de l'arc AM, on a :
* - $[\/?W+ <??•*) -ÏT^jldt = f[\/dx* + dy* + d&,
§ = W2 W+ ?M + ?!WT
efe = y/S* - h rp H- r/s2.
241. Le rapport dun urc indéfiniment décroissant à sa corde a />oa/' limite limité.
En effet, soient : s un arc AM, (t, x, y, z) les coordonnées de M, (t + Af,# + A#, ...) celles d'un point M' infiniment voisin de M, c la corde MM' et As l'arc MM'; on a, pour lim M = 0,
ls
hm7 = hmV(K^P h(^-=llm
\ ,AAdt
Tangente.
242. Angles directeurs. — Prenons sur la courbe, parcourue dans le sens des t croissants, un arc infiniment petit MM'; soient [t, x, y, z), (i + M, x -f &x, ...) les coordonnées des points
M, M'. Les projections de la corde MM' sur les axes sont égales, en grandeur et en signe, à Aa% Ay, As; elles ont anssi pour expression
MM' eos (OX, MM'), MM' cos (OY, MM'), MM' cos (OZ, MM').
On en conclut
cos(OX,MM')--= ..'*',= , , etc.;
MM' \/(A*)2 + (A,/r f A;/
en faisant tendre le point M' vers M, on trouve
dx dx \
cos a = 71= - = --, |
fl dy dz i ' j
Tels sont les cosinus directeurs de la tangente MT, prise du côté des / croissants.
Si l'on prend sur MT une longueur M/m = ds, les formules (1) expriment que les projections de M/n sur les axes sont égales à dx, dy, dz. Donc m est le point qui a pour coordonnées x -|- r/.v, y + dy, s -J- r/r.
243. Equations de la tangente. — Désignons par X, V, Z les coordonnées courantes. Connaissant les cosinus directeurs de la tangente, on a pour les équations de cette droite :
& = 2jT =-£ ' fl)
et pour celle du plan normal :
(X — x)dx -f i Y — y)dy - \- (Z - z)dz = 0.
Les équations (1) sont encore applicables lorsque la courbe est donnée par les équations de ses projections sur les plans XOZ et YOZ. En les mettant sous la forme
v „ dx a „\ v dy ,
on voit que la tangente se projette sur les plans XOZ et YOZ suivant les tangentes aux projections de la courbe sur les mêmes plans. Cette remarque peut s'établir géométriquement.
Si la courbe est définie par les équations
F(a?,y,s) = 0, F^y,*) 0, les différentielles dx, dy, dz vérifient les équations
^ ; ()F ^ <W . . dP, , , dF, , dF, ,
dr rty r); d'<7 ')// r)j
elles sont donc proportionnelles aux binômes
dFdF, dFdF, dFdF, dFdVx 0FdFx dF dF, dy dz dz. dy dz dx dx dz dx dy dy dx
et on pourra les remplacer par ces binômes dans les équations 1 1. Mais il est plus simple de substituer, dans les équations (2), à dx, dy, dz, les différences X — x} Y — y, Z — z qui leur sont proportionnelles; la tangente a ainsi pour équations
dF dF dF
tX.)+fr J,, + (Z-,)-o, (3,
s àFx , „. . dF, , ,,, N dF, (X -*) -1 + ^ -//),,; -|-(/-0 ,'=0. (4)
244. Théorème. — En général, il existe, en chaque point M d'une surface, un plan qui contient les tangentes à toutes les courbes tracées par ce point sur la surface.
En effet, soient x, y, z les coordonnées d'un point M pris sur la surface F (oc, y, z) = 0. Si l'on trace par M une courbe représentée par le système F(x, y, z) = 0, F,(3C, y, z) = 0, l'une des équations de la tangente en M à cette ligne est (243)
dF dF dF
comme elle est indépendante de la fonction "F ,(ac, y, z), elle représente un plan contenant les tangentes menées en M à toutes les courbes passant par M et tracées sur la surface F(x, y, z) — 0. Le théorème est donc démontré.
Ce plan est appelé le plan tangent au point M de la surface.
La proposition est en défaut si
dx ' dy ' dz
M est alors un point singulier ou un point conique de la surface.
Angle de contingence.
245. On ajtpelle angle de contingence en un point M dune courbe, V angle formé par la tangente MT avec la tangente infiniment voisine M'T'; plus exactement, cest la partie principale de V angle de ces tangentes. Nous le désignons par s.
Soient (f, x, y, s), (t -\- Af, x -f- Ajc, ...) les coordonnées des points M, M'. Les cosinus directeurs des tangentes MT, M'T' sont
dx „ tfy
COS a = — > cos 3 -.= ; >
COS V
dz
cos a -f A cos a, ces 3 -f- A cos 3, cos y -f- A cos Y- Or (236, 2°),
sin2(MT, M'T'j = S(cos 3 cos y' — cos y cos ,3')2,
sin2 1 (MT, M'T') = } S(cos a' - cos a)2.
Remplaçons cos a', cos è8', cos y' par les valeurs (2); il vient sin2(MT, M'T') = -(cos 3 . A cos y — cos y . A cos 3)2,
sin2 ^ (MT, M'T') = j [(A cos a)2 -f (A cos 3)2 + (A cos y)2J.
En réduisant les deux membres de ces égalités à leurs parties principales, on trouve
s2 = 2(cos 3 d cos y — cos y d cos 3)2,
£2 (f/ COg a)2 | ^ cos pj2 | (rf cog r)2?
c'est-à-dire
rfs c/.v afo e/s/
.•-(-^vf^y+f-^
US
246. Les trois binômes qui entrent dans le second membre de (5) ont les valeurs explicites suivantes :
dy ds d°~z — dz d2s dz ds d2y — dy dls dy d2Z — dz d'2//
ds ds2 ds
dz d%x — dxd2
Jx2
ds* ds2
dx d2// — dydzx ds2
Dans la théorie des courbes gauches, on pose
dx dy dz d2x d2y d2z d3x d3y d3z
et Ton désigne par A, 13, C les mineurs de II relatifs à la troisième ligne, de sorte que
dy d~z — - dz d2y =-- A, dz d'X — dx d-z — B, dx d2y — dy d~x = C ;
II est appelé le déterminant de la courbe. On pose aussi
Avec ces notations, les binômes qui figurent dans la formule
(o se réduisent a . , » . --> , , ; par conséquent ' ds- ds- as2
" ds4 ~~ ds*
