La formule (G) donne
i*dsA -— {dsd-x — dxcPs)* + (dsd2y — dyd2s)2 + [dsd-z — dzdH)* ;
développons les carres indiqués et ordonnons par rapport à ds ot dîs :
sV/s4 — ds2[{d2x)2 + (d2y)2 -f d2z)2\ -f (d2s)2j>£z2 + dj/2 -f rf*«] — 2r/5 r/V^r d2x -f dy d2y -f dz d2z). Mais
ds2 = f/.x2 -}- cfy2 j- r/^2, d'où r/s r/2s = tfrdU' + dy d2y -f ote d:z ;
ces relations ramènent l'égalité précédente à
2 (d^rY + (d'y)2 -I- (c/2;)2 — (V/2*)-
Si s est la variable indépendante, c'est-à-dire si la courbe est représentée par des équations de la forme
x =-- ©(*), y = tp^s), s — ©2(5),
ds ds2 ds ' ' ds2 ( ' ds
dx d2x dy dly dz
on a d-- = — ds, d - — ds.
d2z ds2
dé
et les formules (5 et <\ du § 245 deviennent
\ds) [ds ds- ds ds- J '
Plan osculateur.
248. Equation du plan osculateur. -- Nous devons chercher la limite d'un plan passant par la tangente MT en un point M d'une courbe gauche et par un point M' de la courbe infiniment voisin de M.
Soient les coordonnées des [joints M, M' :
at^^t+h), ^ = <?,{* + *), *,«=*.(>"+*). Un plan quelconque mené par M a pour équation A- X — x) + B(Y - y) C Y - ar) = 0.
Exprimons que ce plan contient la tangente MT dont les
équations sont
X — x Y — // rL — z
et qu'il passe par le point M'; il vient
A?rW + B?\(0 + C?'t(*) = 0, 1)
A(^1 - ^) -f Bfe, -//j + C(*, - *) «= 0. (2)
Le théorème de Taylor donne
y,-y-*.'iW + £*ï(0 i- o rï'«0 + • • • Z,-« -A?',(*H Çrï(0 + *' ??« + •• •
la condition (2) peut donc s'écrire
h[A*\t) + B*\[t) + C'i'Jtj] + ~ [À?"(t) + ...]
Le premier terme de eette égalité est nul en vertu de (1) ; divisant par le facteur -j ou trouve
A<?V)-f B«J'(0 t-C4(tj | .^[A'f'"i/!|-.. |... =0.
Passons à la limite pour h = 0 ; nous aurons
À»"iO + BçRO l-Ccp^) ,0. (3)
Les équations (1) et (3) déterminent les coefficients de l'équation du plan oscillateur ; on a (235, 2()
i ,rii i h ~ ~ i n i " in frt f/1 f 1-^2 — r 2?i r -j'f ? r2 ? ?i r iV
de sorte que l'équation cherchée est
En observant (pie
cfo - ^{t,dtt r/2-r — *"{t)dt-
on peut aussi écrire
2(dyd'-z — dzd2y) (X — .n = 0.
Sous cette forme, les coefficients de l'équation sont précisémont les quantités désignées plus haut (245) par les lettres A, H, C.
Remarque. — Les cosinus directeurs du plan oscillateur (on de la binormale) sont (236, 4°)
cos l — - > cos m = T > cos n - •
249. Théorème. - Le plan oscillateur en un point M traverse, en général, la courbe et sa distance à un point M' infiniment voisin de M s«r /a courbe est dit troisième ordre.
Un plan quelconque mené par le point M (.y, y, z) de la courbe a pour équation
A(X - ce) -1- B.(Y - y) -f- G(Z - c) = 0 ;
sa distance 6 à un point M' («v,, y,, sj est
SA(.r, — x)
y .v 4-.BM-C*
Remplaçons les différences xx — .\\ y, — y, zl — ; par les valeurs trouvées ci-dessus (248); alors
SA[*?'(0+^.,,(0 + Ç?m»0 + ».]
En général ô est du même ordre que h. Pour que 8 soit au moins du second ordre, le coefficient de h, dans la valeur (I), doit être nul, ou
Acp'(*) + B»i(fl + C«ï(/) — 0. (1)
Cette condition exprime que le plan considéré passe par la tangente MT.
Pour que ô soit au moins du troisième ordre, il faut en outre que le coefficient de h2 soit nul, ce qui donne
A»"(tj -f Bol(t) + C?;'(7) = 0. (2)
Les égalités (1) et (2) expriment que le plan coïncide avec le plan oscillateur (248). On a maintenant en réduisant 8 à sa partie principale :
g i ^ Affmit) +B?r(o+ ctf(o • (3)
Comme 8 change de signe avec /?, la courbe traverse le plan oscillateur dans le voisinage du point M.
Cependant, si Ton avait
SA<p"'(*) = 0, ÏA'i[y(t) ^0,
8 serait du quatrième ordre et la courbe s'étendrait, dans le voisinage de M, d'un seul côté du plan oscillateur. On dit qu'en un tel point le plan oscillateur est stationnmre ou suroscule la courbe.
Remarque. — On peut considérer 'f'"(/ h3, "f[ (t)h3, ®%(t)h* comme les différentielles (Px, dzy, dzz et prendre pour A, B, C les mineurs de H relatifs à la troisième ligne: alors la formule (3) prend la forme
Un point stationnaire annule le déterminant II.
- ZV —
250. Théorème. — Le plan oscillateur en un point M est la limite du plan mené par la tangente MT, parallèlement à la tangente infiniment voisine.
En effet, pour que le plan
A(X - ce) -f B(Y — y) + C(Z - z) == 0
soit parallèle aux directions des deux tangentes MT, M'T', on doit avoir
A»\() + B?\(0 + Co'2(t) --=■- 0, (1,
A?r(< + h) -f BcpV/ + ft) -f- C<p't(< -f A) - 0. (2)
La seconde condition donne
ÏA[o'(0 + h»'\i) + ^2 f\t) + ... 1 = 0 ;
si l'on en retranche la première et qu'on divise ensuite par h on trouve
