Si. dans une série positive décroissante, la quantité

reste, à partir d'une valeur déterminée de n, supérieure à un nombre fixe m, plus grand que 1, la série est convergente ; si elle reste plus petite que 1, la série est divergente. I Critérium de Raabe ou de Duhamel). Appliquer les exercices 5 et 5bis en comparant les séries r^ 4- u, \ . et

"1 h ws4" ■• ou "n ni- Ijil première est convergente si. pour m>l, > ou > 1 + - > 1 4-

Wn+1 *>n+l V >l> «

ce qui revient à Xn > m. Klle est divergente si pour m — 1,

ou < 1 4" *

«n+l ^n -| -1 12. Etudier la série dont le ternie général est

An? [- BnP+1 +...

rt«ri 4- 6^ -1 -h ...

La série est divergente si p > q, ou p = q (6) ou ;j — q — 1 i exercice 7). Si /> = q — 2-, lim nrun — - ; appliquer l'exercice 8. 13. «! -J- «rh ■•• «tant une série à termes positifs, si

un 1 1 #+ AnP-1 H- BnP-2 4- ...

«p 4- a wP~l 4- 6 7?p -2 ; 4- . . .

oùp est un nombre entier, et où A, B, . ., a, b, ... sont des constantes, la condition nécessaire et suffisante pour (pie la série soit convergente est A — a 4- 1 < 0. ^Gauss.)

Appliquer l'exercice 11 On a

An =

(a — A) mP-1 4- (6 - B)wP-* -j-..

«p 4- AwP"1 4- ...

Si a — A < O, Xn est négatif pour n = oo ; donc à partir d'une valeur déterminée de n on a un < Hn+1 ; si a — A= o, lim Xn — o pour n = oo, et Xn est négatif ou < 1 pour n suffisamment grand: si a — A > o, on a lim Xn = a — A pour /i = oo , etc.