SA
enfin, en passant à la limite pour h = 0 on obtient
Les égalités (1) et (3) sont précisément celles qui déterminent le plan oscillateur (248).
251. Théorème. — Le plan oscillateur en un point M est la limite du plan mené par M et par deux autres points M', M" de la courbe, infiniment voisins de M.
Soient t, t f A, t -f- À* les valeurs du paramètre aux points M, M', M". Pour que la proposition ait un sens, il faut supposer qu'il existe entre h et A' une relation déterminée, telle que h tendant vers zéro, A' tende également vers zéro.
L'équation d'un plan quelconque mené par M est
A[X — ?(0j f B(Y — 9i(t)] + C[Z — ?t(tj\ - 0. Si ce plan passe par les points M', M", on a
SA[?(* -f- h) - i(tjl - 0, SA[j(* + *) — o(t)] = 0. En développant © t + /?), »(f -f- A), ... par le théorème de
Taylor et on divisant respectivement par h et par k, on trouve
SA[(p'w + ô?V; 4- ,. ?"V) 4- .••] = o
Soustrayons les égalités (1) et (2) l'une de l'autre et divisons le résultat par A* — h ; il vient
SA
Jt,,«+^?''W>^1
Si on fait tendre h et A* vers zéro, les équations (I.) et (3) deviennent
SA?'(0 = 0, SA<f'V) = 0.
Ce sont précisément les égalités qui déterminent le plan oscillateur.
Courbure.
251. Indicatrice sphérique. — Etant donnée une courbe gauche A, traçons par l'origine des coordonnées des droites Oa0, 0[x, (V, ... parallèles aux tangentes M0T0, MT, M'T\ ..., celles-ci étant menées du côté des arcs positifs de A [fi g. 55). Ces parallèles sont les génératrices d'un cône appelé cône directeur de A. Soient |x0, ;jl,, \x, . . les points où elles coupent la sphère de centre O et de rayon 1 ; ils forment une courbe o qui porte le nom d'indicatrice sphérique de A.
Le plan oscillateur au point M est la limite du plan passant par la tangente MT et par une tangente infiniment voisine
Fig. 55.
'Mo No
M'T' (249), plan qui est parallèle au plan ;j.Ou'; on en conclut
que le plan oscillateur est parallèle au plan qui touche le cône directeur le long de la génératrice Ofx.
L'angle de deux tangentes infiniment voisines MT, M'T' a pour mesure l'arc de grand cercle qui passe par les points jx, ;;.'; le rapport de cet arc à la corde u.;j.' et celui de l'arc ;;.;/ de l'indicatrice à la môme corde ayant tous deux pour limite l'unité, les deux arcs peuvent se substituer l'un à l'autre (28). Par suite, si 7 est l'arc de l'indicatrice depuis une origine fixe »x0 jusqu'au point y., l'angle de contingence en M a pour expression la différentielle (h.
Les équations de l'indicatrice sont évidemment
œ = cos a == !=: , u — cos 3 z __ Y
On en conclut immédiatement ^245)
E2 = rfat = (,/ cos a)2 + (d cos p)2 -f (d cos y)2,
252. Mesure de la courbure. — Considérons un are fini MM' de A.
On appelle courbure totale de l'arc MM' l'arc correspondant ptji' de l'indicatrice ; cet arc mesure la variation que subit la direction de la tangente lorsque cette droite roule sur l'arc ATM'.
La courbure moyenne de Tare MM' est le quotient de la courbure totale de l'are par la longueur de l'arc ; c'est donc le rapport entre les arcs correspondants y.a', MM' de l'indicatrice et de la courbe A.
La courbure en un point AI est la limite de la courbure moyenne d'un arc MM' qui tend vers zéro; c'est donc le rapport entre les différentielles des arcs correspondants jjioa, M0M de l'indicatrice (M0, ;j.0 sont les origines des arcs s, a) et de la courbe
proposée, ou " •
L L ds
On représente la courbure par ; R est appelé le rayon de
courbure. Ainsi,
1 I ds
ou plus explicitement (246)
ds3 (dx* + dy~ -V dzf
On peut aussi remarquer la formule
>■ , fdcos$y . A'eosyY2 + \ di ) + {—* )'
ou, si s est la variable indépendante,
1 s2 fd eos a\2
~~ ~ds* = V ds
1 {d*x\* , fd*y\* fdrr^
Le cercle de courbure au point M est le cercle tracé dans le plan oscillateur, touchant la courbe en M et ayant une courbure égale à celle de la courbe et de même sens. Le centre de ce cercle se nomme le centre de courbure; le rayon est égal à R.
Normale principale.
254. Cette droite étant à l'intersection du plan oscillateur avec le plan normal, on peut la représenter par les équations
2(X — x)dx = 0, S(X - x) (di/ d'z — dz dly) =- 0.
Soit X le centre de courbure en M; nous prendrons MX pour direction positive de la normale. MX est parallèle à la tangente [xa de l'indicatrice prise du côté des a positifs (dans le sens jjl;j.' si MM' est le sens des arcs positifs de A). Eu effet, si l'on, mène MT, parallèle à M'T et que l'on prenne les longueurs MT, MTj égales à l'unité, les droites TTX et y-y-' sont parallèles et de même sens ; or, lorsque M' se rapproche indéfiniment de M , le plan TMT, a pour limite le plan oscillateur et l'angle MTTj du triangle
isocèle MTT1 tend à devenir égal à^» de sorte qu'à la limite
TTj devient parallèle à MX.
Des équations de l'indicatrice,
x = cos a y = cos 3, z = cos y,
on conclut les cosinus directeurs de la tangente u.a; donc
d cos a d cos a d cos 8 d cos y
cos a -— , — = -.> cos u. = — - 5 cos v =
On peut aussi écrire, à cause de R = — >
, d cos a d cos 3 T^ d cos y
cos a = R ; — » cos \x = R - > cos v = R ,
r/s «s ds
255. Centre de courbure. — Soient u, b, c les coordonnées de X. Les projections de MX sur les axes sont exprimées, en grandeur et en signe, par a— x, b — y, c — z, et aussi par R cos À, R cos [jl, R cos v. On en conclut
G? COS a , û?COSP
Lorsque l'arc s est la variable indépendante, on a simplemenl
rt = x -f R2 ,-- , £ = ii -h R2 7 ; > c = s + R2 7 ., • as2 as2 as-
