Lieu du centre de courbure. — Les formules (1), si on

remplace x, y, z-, R, cos a par leurs valeurs en t, sont les

équations paramétriques de la courbe, lieu du centre de courbure. Cette ligne ne jouit pas des mêmes propriétés que la développée d'une courbe plane (229).

Contact des courbes gauches.

257. La théorie est la même que pour les courbes planes (218). Soient A, A' deux courbes, planes ou gauches, qui ont un point

commun M. A chaque point X de A faisons correspondre un point X' de A', d'après une loi déterminée qui peut être quelconque, sauf que M doit être son propre homologue. Si la distance MX est infiniment petite du premier ordre, la distance MX' est aussi de cet ordre; la distance XX' est du premier ordre, à moins que les courbes ne se touchent en M. Dans le dernier cas, on dit que A et A' ont en M un contact d'ordre n, si la distance XX' est d'ordre n -f- 1 par rapport à MX. L'ordre du contact est indépendant de la loi de correspondance des points X, X'.

Soient x = «(*), y — ©i(£), z = ©2(0> (A)

les équations des deux courbes, et supposons que deux points homologues correspondent à une même valeur de t. Si a est la valeur de t au point M, les coordonnées de M sont

x = çp(a) = f(a), y = 7l a) = /», z = *Ja) = ft{a). Xkuberg, An. inf., i 1G

Soient N, N' deux points homologues infiniment voisins de M et correspondant à t = a -f- h ; ils ont pour coordonnées

ce •= cp(a -(- /?,), y = o^a 4- ^)i s = cp2(tf + /'.), ! N

Nous prenons 7i pour infiniment petit principal. La distance MN sera du premier ordre, car ses projections sur les axes coordonnés, égales à

cp(a -f- h) — cp(«), cp^rt -j- /m — ©ifa), -f.2(rt |- h) — v2(a)

sont du premier ordre.

Si A et A' ont un contact d'ordre ;î, la distance NN' doit être d'ordre n -\- 1 par rapport à MX ou, ce qui revient au môme, par rapport à h. Les projections de XX' sur les axes coordonnés, c'est-à-dire les quantités

f(a -f h) — cp(a 4- h), /\(a 4- h) — *x(a + h\ f,(a 4- h) — <p2(a 4- A),

étant du même ordre que XX' (*), on trouve en appliquant la

formule de Taylor à f(a -\- h), cp(a f ^)' ••• :

/» = *'(a)f /"'(a) = ?», ... , /™(a) = ?(n)(«)> | /ï(a) « •», /» - «"(a), ..., An)(«) = ??(«). , $«) = ?», /?(«)=*??(*). •••> /tnV)=?in)(a), '

Représentons les coordonnées de M par x, y, c ou par .y,, y15 :, suivant que l'on considère ce point sur A ou sur A' ; les conditions précédentes seront équivalentes à celles-ci :

dx = dxl} dzx = c?2a?l3 ..., d ux ==- dnx} , 1

dy = tfyj, tf2*/ == tf2^, ... , d"ij = rf^lf (2)

dz = de,, d*z = d~zl} ... , rfn^ = dnzv

Lorsque s est la variable indépendante, les égalités (3j ont lieu identiquement (**J et les autres peuvent prendre la forme

dx dxx d2x d2xx dnx tfn.T]

d~z dzl' dz- = dz} ' "" S» = : "cf^y '

oTy dy] d'// d-//x dny dnf/i

dz ~'~ dzx dz~ = dz\ ' " ' dt" dz\ '

(*) Une ou deux «les projections pourraient être d'un ordre supérieur. " ' A f t- A' ont maintenant une équation commune z — t.

D'après cela, si deux courbes ont au point M un contact d'ordre il, les dérivées des coordonnées x, y de M par rapport à z .son/ égales sur les deux courbes jusqu'à l'ordre n inclusivement.

Les équations (4) expriment que les projections des deux courbes sur le plan XOZ (et par suite sur un plan quelconque) ont un contact d'ordre n.