Courbes osculatrices. — Soient
. \f(x,y, -) = 0, ( «pfoy, *, a, «15 ...) - 0,
les équations de deux courbes A, A'; les fonctions /', fx, v, op, sont données, mais cp et cpj renferment des paramètres indéterminés n, aY) ..., b, bïy ... Si l'on dispose de ces paramètres de manière que A' ait en un point donné M(ac ,y ,z) de A le contact de l'ordre le plus élevé, on dit que A' est une courbe osculatrice.
Pour que le contact soit d'ordre n, on doit disposer de 2(n -\- 1) paramètres. En effet, en exprimant que A' passe par M et que les dérivées des coordonnées x, y de M par rapport à z sont égales sur les deux courbes jusqu'à l'ordre n inclusivement, on obtient en tout 2(n -|- 1) équations de condition.
Cercle osculateur.
259. Un cercle A' est représenté par les équations de son plan et de la sphère qui a même centre et même rayon. Soient a, b, c les coordonnées du centre et R le rayon ; nous aurons les équations
(a? - af- + (y — hf + (z - cf = R2. (2)
Comme nous disposons de six paramètres a, b, c, Le, T* •
nous pouvons imposer au cercle un contact du second ordre avec une courbe donnée A en un point donné \L(x, y, z). Différentions deux fois les équations (1) et (2); il vient
kdx + Bdy + Cdz - 0, (3)
kd*x -f- Bd*y -f- Cd2z = 0, (4)
(x — a)dx + (.?/ — ôjo?v -f (* — c)ck = 0, (5)
i:c — a)d2# + (// - M-// f (c - c)c?2s + ds* - 0. (ô)
Pour exprimer (pie A et A' ont un contact du second ordre en M, nous considérons, dans les équations (1) à (6), x, y, z comme les coordonnées de M et nous remplaçons les différentielles d\\ <72.\\ ... par leurs valeurs déduites des équations de A.
Les équations (3) et (4) déterminent les rapports des coefficients A, B, C; on peut même poser
A = dy dzz — dz d'-y, B = dz d~x — doc d~z , ) C = doc d2y — dy d'2x. \
On voit que le cercle oscillateur est situé dans le plan oscillateur.
Des équations (1) et (5) on tire (235, 2°)
Bdz — Cdy Cdx — kdz kdy — Bd.r '
si Ton désigne par p la valeur de ces rapports, on a
x — a = p(Bcfo — Ccfy), ]
y — h = p[Cdx — kdz), > (8)
z — c = o(kdy — Bdx). )
Pour déterminer l'inconnue auxiliaire p, nous portons les valeurs (8) dans l'équation (6), ce qui donne
ds*
(Befo — Cdy)d°~x + (Cdx — kdz)d2y + {kdy — Bdœ)d*z Ordonnons le dénominateur par rapport à A, B, C; il devient SA(cfy d%z — dz d2y) = A2 + B2 -f C2; par conséquent
p~ A2 + B«-fC2 {
Les formules (8) et (9) déterminent complètement le centre (a, b, c). Pour avoir R on substitue les valeurs 18) dans l'équation (2); on retrouve alors la valeur du rayon de courbure (253).
Torsion
260. Indicatrice supplémentaire. — aux différents points M0, M, M', ... d'une ligne gauche A, menons les binormales M0B0, MB, M' IV dans un sens tel que si la droite M0B0 glisse le
long de A en restant binorniale, elle coïncide successivement
avec MB, M'B', .... Traçons ensuite par l'origine des coordonnées des parallèles Ob0, Ob, 06', ... aux binormales M0B0, MB, M'B', ...et limitons-les en bQ, b, b', ... à la sphère de centre () et de rayon 1. Ces parallèles sont les génératrices du cône directeur de la surface des binormales; les points b0, b, b', .. appartiennent à une courbe^ appelée indicatrice supplémentaire de A. Ce cône est supplémentaire du cône O[x0[ji(j.', ...; en effet, ses génératrices sont perpendiculaires aux plans tangents menés au cône Oa0u.[j.' .., puisque ces plans sont parallèles aux plans oscillateurs correspondants de A.
261. Angle de torsion. — On appelle angle de torsion en un point M de A l'angle du plan oscillateur en ce point avec le plan oscillateur au point infiniment voisin M'; plus exactement, c'est la partie principale de l'angle dièdre des deux plans oscillateurs ou, ce qui revient au même, de l'angle des binormales correspondantes MB, M'B' ou encore de l'angle bob'. Xous désignerons cet angle par slm L'angle bob' a pour mesure l'arc de grand cercle terminé en b et b' \ comme le rapport de cet arc à la corde bb' et le rapport de l'arc bb' de l'indicatrice supplémentaire à la même corde ont pour limite l'unité, on peut substituer au premier arc le second. Par suite, si ^ désigne l'arc b0b de l'indicatrice, e, est égal à la différentielle dz{ de cet arc.
Les équations de l'indicatrice supplémentaire sont
x = cos l, y = cos m, z = cos n,
où il est sous-entendu que cos /, cos m, cos n sont remplacés par leurs valeurs en i (248). On en conclut
Ej = cfd1 = \](d cos Z)2 -j- (cf cos m)2 + [d cos nf.
262. On appelle torsion totale d'un arc fini MM' l'arc bb' de la seconde indicatrice; cet arc mesure la variation de la direction de la binorniale le long de l'arc MM'.
La torsion moyenne de l'arc MM' est le quotient de la torsion totale par la longueur de l'arc; c'est donc le rapport des arcs correspondants bb\ MM' de la seconde indicatrice et de la courbe A.
La torsion en un point M d'une courbe gauche A est la limite
de la torsion moyenne d'un are MM de A dont la seconde exl rémité se rapproche indéfiniment de la première; elle est égale au rapport des différentielles (hx, ds des ares b0b, M0M de la seconde indicatrice et de la courbe proposée. Par analogie avec la première courbure (253) on la désigne par - ; R1 prend le nom de
rayon de torsion.
On a donc
1 tfii i{ . ds
Rj ds '(s Ej
il en résulte
1 ej fdaosl\2 /cfeosmX2 /c£cosw\2
\\[ ds~ \ ds ) \ ds \ ds
263. On peut trouver une valeur plus explicite de e^ En effet, en raisonnant comme pour l'angle de contingence 245 , on obtient
ej ^ (cos m d cos // — cos a 'A cos m)2 f-(cos n d cos l — cos Id cos >/ )-
-f- (cos / d cos m — cos il d cos Ir:. Posons
L = cosmdcosn — cosncfcosm, M = cosnduosl — eosJtfeosm,
N = cos / d cos m — cos n d cos /,
de sorte que ej = L2 -f M'2 + N2.
On a trouve 248
cos / = > cos /// = » cos il = - ;
par suite
B DtfC — CrfD C Dt£B — Bc£D BdC — CdB
Si l'on observe que
^B = d(dz d2x — dx d'lz) = cfo cf3# — cfcc tf3^, ofC = gT(c&c dzy — dy d2x) = dx d3y — dy d3x-,
on peut écrire
B(dx dzy — dy d3x) — C dz à:\v — dx >(:]:-) L==~ ~~ W
dx(Bd3y + Cd3z)—<d3x(Bdy \ Cdz) D2
cfa(Arf3#4-Bcf3j/ + Ccg3* — d3x{kdx \ Bdy hCcfc .
les termes introduits se détruisent mutuellement. Enfin, à cause de
kdzx -f Bdzy + Cdzz = If, kdx -\- Bdy + Cds = 0,
puis par analogie, on a
Edx
On en conclut
