L-fM^-h
Udz D2
II>/\v
264 En combinant la valeur de R{ avec la valeur R= > on trouve
RRj =
Ms:
PI
IV l V i =
La dernière relation peut s'écrire
R2Rj
les accents indiquant les dérivées de a-, y, z considérés comme des fonctions de s.
La distance du- plan oscillateur en M au point infiniment voisin M' de la
II ds3
courbe a pour valeur principale T = ,;^ •
bl) bKKi
265. Théorème. — C ne courbe dont la torsion est nulle en tous ses points est plane.
Il faut démontrer que si l'on a H - 0 en tous les points delà courbe, celle-ci est nécessairement plane.
Représentons la courbe par les équations de deux de ses projections : '• = ®(z ,y — fic '• ^ étant la variable indépendante, on a dlz — 0,d3z 0, et l'équation II — 0 se réduit à '
dzy dzx
En intégrant la dernière équation on obtient successivement
ld2y = ld%x + le, d'1}/ — cd~oc, - ■■„ — c . - .,-
uZ' CtZ
Une nouvelle intégration donne
dy dx , , , 7 , » t
■f- = c -i — h c ou f/// — caa? + ca.s . rf-s dz
Intégrons de nouveau; il vient
y = CX -f- C'':: -f- C",
ce qui démontre la proposition.
d'2xd3y — d~yd3x = 0, ou
(*) On a II = dz(d2x d3y — d2yd3x)\ nous écartons l'hypothèse dz = 0 ou
; C, qui est en contradiction avec les équations x = rî{z),y = «qi s .
Double courbure d'uni: ligne gauche.
266. Soit donnée une courbe gauche A (fi g. ,%'i Inscrivons une ligne brisée ... ABCDE .., et ayant prolongé les côtés dans un même sens, considérons la surface polyédrale qui a pour faces les portions de plan À'AB', B'BC CCD', . . comprises entre les prolongements de deux côtés consécutifs. Faisons tourner la face A A IV autour de AB' jusqu'à ce qu'elle se place dans le prolongement de la l'ace C'BB'; faisons ensuite tourner l'ensemble des deux faces A'AB', B'BC autour de BC pour l'amener dans le prolongement de la face D'CC. En continuant de la sorte, on parvient à étendre sur un même plan, sans déchirure ni duplicatiire, les diverses parties de la surface polyédrale. La ligne brisée gauche ABCD... s'est transformée en une ligne brisée plane, avec conservation des longueurs des côtés et des angles compris entre deux côtés consécutifs.
Ces propriétés subsistent à la limite, lorsque les côtés de la ligne brisée décroissent indéfiniment. La surface polyédrale sera remplacée par une surface réglée S, ayant pour génératrices les tangentes de A; les faces planes de la surface polyédrale aura pour limites les plans oscillateurs de A, et ces plans seront tangents à S. La surface S peut donc être étendue, sans déchirure ni duplicature, sur un même plan; pour cette raison elle est dite développable. Dans le développement de S, A se transforme en une ligne plane A', avec conservation des longueurs des arcs et des angles de contingence; par suite, A et A' ont même courbure en deux points correspondants.
Si l'on prolonge les côtés de la ligne brisée ...ABC . dans l'autre sens, on forme une seconde surface polyédrale, ou plutôt une seconde nappe, ayant pour faces les portions de plan A"AB", B"BC", ... De même la surface S présente deux nappes se coupant suivant A; pour cette raison on dit que A esl i arête de rebroussement de S.
267. Nous venons de transformer la ligne gauche A eu une ligne plane A', en imprimant successivement à chaque plan
oscillateur une rotation infiniment petite autour de la tangente qu'il contient.
Considérons maintenant la ligne brisée ...ABCD... inscrite à A'. Une rotation autour de I> amène BA sur le prolongement de CB ; une rotation autour de C amène ensuite CB et BA sur le prolongement de DC ; ainsi de suite. Donc par une suite de flexions on peut étendre la ligne brisée sur la même droite. En faisant tendre les côtés de la ligne brisée vers zéro et en passant à la limite, on voit comment la courbe plane A' peut être étendue sur une même droite.
Application a l'hélice cylindrique.
268. Définition de la courbe. — Appliquons les théories qui précèdent, à l'hélice tracée sur un cylindre de révolution (fig. 5y).
Cette courbe est engendrée par un point qui se meut uniformément sur une génératrice rectiligne du cylindre, pendant (pie celle-ci tourne uniformément autour de Taxe OZ de la surface.
Soient A la position initiale du point générateur, AA' la génératrice correspondante; nous considérons comme base du cylindre la section droite APB passant par A. Si M est un point quelconque de l'hélice, et MP une perpendiculaire menée sur la base, le rapport MP : arc AP, d'après la définition de la courbe, est constant.
On convient d'appeler MP l'ordonnée de M, l'arc \ly Yabscisse curviligne. D'après cela, Vhélice est une courbe tracée sur le
cylindre et {clic, qu'il existe un rapport constant entre l'ordonnée et l'abscisse curviligne de chacun de ses points.
Ouvrons la surface latérale du cylindre suivant la génératrice A A', et développons-la sur le plan <)A A'. La circonférence APB se transformera en une droite AX perpendiculaire à A A ; soient AP' le développement de l'arc AP, P'M' la position que prendra PM. Le rapport M'Pr : AP' étant constant, l'angle P'AM' est invariable; donc l'hélice se transforme en une droite AD. Réciproquement, si l'on enroule sur un cylindre un plan, une droite quelconque tracée dans ce plan s'appliquera sur la surface cylindrique suivant une hélice.
L'abscisse AP peut dépasser une ou plusieurs circonférences. Lorsqu'elle est égale à la circonférence de la base, le point de l'hélice passe de nouveau sur la verticale du point A, par exemple en A'. La distance AA' est le }>as de l'hélice, l'arc d'hélice AMA' est un tour de spire.
269. Equations de la courbe. — Les axes étant les diamètres rectangulaires OX, OY de la base et Taxe OZ de la surface, soient
x = OQ, y = PQ, ; = MP
les coordonnées d'un point M de l'hélice, r le rayon de la base, / l'angle variable AOP, V l'angle DAX; l'arc AP ---- ri, et l'ordonnée MP — M'P' = AP' tg Y. Les équations de la courbe sonl donc :
x == r cos t, y = r sin t, s = rt tg V. (1)
Si l'on élimine le paramètre l entre ces équations prises deux a (Unix, on trouve les équations des projections de l'hélice sur les plans coordonnés :
x- 4- xr = r2, x — r cos -■=» y =. r sin — •
Les deux dernières projections sont des sinusoïdes. Les équations (1) donnent
dx = — r sin t de, dy = r cos tdt, dz = r tg V dt\ (2)
d%x = — r cos / dt\ d-y - — r sin t dtz, d':z = 0 ; (3)
d3x r sin t di'-\ d:\>/ == — r cos t d/:\ dzz = 0. I 1
