Surface des tangentes. — La tangente a pour équations

X — r cos t Y — r sin t Z — rttgV

— sin t cos t tg V

Les tangentes à l'hélice sont les génératrices d'une surface appelée hélicoïde développable ; l'équation de cette surface

s'obtient en éliminant / entre les équations de MT. Si l'on combine les rapports (7) deux à deux, on trouve

X eos t + Y sin / — r, (8)

X = r cos / — (Z cotg V — /7) sin /, Y r sin / + (Z cotg V — r*) cos f.

faisant la somme des carrés des deux dernières égalités, on obtient

X2 -f Y2 = r2 + (Z cotg V — rO',

d'où t = -(z cotg V ± V X2 + Y2 — r* ) ;

cette valeur étant substituée dans l'égalité (8), il vient

XctoV KA-V- hV-r^ ^/.-ot.VlA'.V + Y-r^^

'Telle est l'équation de l'hélicoïde développable.

273. Binormale. — Au moyen des formules (2) et (3), nous calculons les quantités auxiliaires :

A — dyd2z — dz<Py = r2 sin t tg V d('\ \\ = dzdïx — dxd-z = — r2 cos t tg V dl*, C = dxd~y — ^yd2œ = r2 dt3,

D2 = A- + B2 + C2 = - -5= cft6.

cos'2\

Ensuite :

cos / = =sin tfsinV . cos //£=--- = — cos / sin \ , J

cos n = = cos \ .

La binormale fait donc avec PM l'angle V. Ses équations sont :

X — r cos / Y — r sin t it . „

= ; = (/ — rt tg \ i tg \ .

sin/ —cos/ °

Elle engendre une surface [hélicoïde bi normal) représentée par

X cos? ± C0ÎB vVX'H-Y'-r» + y sin Z i: cotg V\ XH Y*- r2 = r rtgV >'tg\

Le plan oscillateur a pour équation

| X — /" cos /) sin / - Y — r sin / cos / |- ^Z -- rt tg V) cotg N" - 0,