Une courbe étant définie par les équations

x --- ©(*), y = u}(s)t « = <f2(s), où la variable indépendante est l'arc s, on a les relations :

x'- +-.?/■- + s'2 = i, a&?"+.yy + — " o,

.t"~-Kv"'2 ■!- = "■'■=7,.,' M"+y'y

.' jtt

iî-'

a,",»"' -|- ii n

1 ■' R-Ki r lî4

a?Wv+yVv +

fLJV i .".IV

^V + ^V+^V = Kt4-Rm!-3UJ -r(r

Nous indiquerons la démonstration de la formule a ; la lie et la 3^ formule ont déjà été signalées et les autres s'obtiennent en différenciant les précédentes.

On l'ait le carre du déterminant

x' ?/ z' x" y" z" xm ?/" s'"

= kjw: ' e,c-

2. Soient R, Rj, Ri), Rc les rayons de courbure d'une courbe A et de ses

projections sur trois plans coordonnés rectangulaires, et soient *, \ Y les angles directeurs de la tangente menée à A- (>u a

si nR a cos a siu3 |3 cos ,3 si n3 y COS 7

,> + t> ,, 0. i k. Catalan.)

lva lv(j Iv

3. lue courbe étant définie par les équations ?/ = , > :. - , dé-

montrer les formules :

cos a = — - > cos

cos / = , , i COS Wl

d Vy

, COS v = ■ ■ ' ;

cos ^

cos A =

, eos ;x = ' i cos v = , , - ;

d2 — ir a —- — 3*, b = y -f- ' 1 c = a? -|- 4^r.

Le plan oscillateur a pour équation

X// Ya?

4. On projette une courbe sur un plan P passant par la tangente en un point M, et faisant l'angle 0 avec le plan oscillateur; les rayons de courbure R, ;• de la courbe et de sa projection, en M, sont lies par la relation

K = r cos 0.

Prendre P pour plan des xy et observer (pie dz = 0.

5. Une courbe étant tracée sur la sphère x- \-y2 -{- z'2 = 1, on a

=(a?'aw+y,y"+*^,,)ï f [x(y'z"—y"z') Yy(z<x"—z"x])+z[xly"—x"ys

(E. Catalan.) Paire le carre du déterminant

et appliquer l'identité de Lagrange à la quantité E(j\s" — y"z)2.

6. A. I>, ... étant des fonctions d'un paramètre variable/, trouver la condition pour que la droite

ÀX + BY+"CZ + D==0Ï ^X + BJ-f^Z + D, =0 (1)

touche constamment une même courbe.

Soient x, y, z les coordonnées du point de contact; ce sont des fonctions de /. La tangente en ce point a pour équations

X = x + px', Y = y -h 9Pf , Z — z -\r pz' ;

les accents désignent des dérivées par rapport à t, et p est un paramètre variable. Ces valeurs de X, Y, Z doivent vérifier les équations 1 1 quel que soit p ; d'où

\x + By + Cs + D = 0, ArT + B,y 4- C,z + D, = 0, (2)

kx' + By' + C*f = 0, A,y + Bjy' I ■- (V --.= 0. (3)

Dérivons les équations (2) par rapport à /: il vient, à cause des égalités (3),

k'x + B'y -\- C'a h IV =- 0, k\x + B\y + C'^ h IV, = - 0. (4)

En éliminant ,v, y, z entre les égalités (2) et (4), on trouve

égalité qui doit avoir lieu pour toutes les valeurs de /. Lorsque la droite mobile est définie par les équations

x — az -J- p, y = bz -\- q,

la condition cherchée est a'q' — 6'y/ = 0.

", . Démontrer analytiquement <pie la limite dé l'intersection de deux plans oscillateurs infiniment voisins est une tangente. Cette limite est définie par les équations

tf A(X — x) + dB(Y — y) + tfC(Z — c) = 0,

ou par

Br/C— (V/B CdA — AdC \dB -BdA

Les trois dénominateurs sont égaux à Htlx, Hdy, \ldz.

S. Lorsqu'on projette une courbe gauche sur le plan normal ou sur le plan rectifiant au point M, le point M est, respectivement, un point de

rebroussement ou un point d'inflexion de la projection.

Ce théorème résulte de ce (pie le plan oscillateur traverse la courbe.

'.». La projection oblique d'une hélice, sur le plan de la hase, est une eveloïde, allongée, accourcie ou proprement dite. 10- La distance de la tangente MT au point infiniment voisin M' est

1 d.s~ égale a ., ,» ' à un terme du troisième ordre près.

11. La différence entre un arc infiniment petit et sa corde est, aux tenues

1 ds3

du quatrième ordre près, ~ ■ T.„ *