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" ô3F dsF ô*F '

A3 -, + 3M r,r + ■•• + Qhkl i rV dor ùxlùy ôxôyôz

6>F -)F dF

Si les dérivées r — > — - > -?— ne sont pas toutes trois nulles, ôx ôy oz

l'équation précédente se réduit sensiblement à

OF ôF ôF

ôx ôy ùz

Remplaçons h, k, 1 par X — x, Y — y, Z — z; l'égalité (9) devient

dF ôF ôF

dx

ôz

File représente, si X, Y, Z sont des coordonnées courantes, un plan passant par M et par les points de la surface infiniment voisins de M ; ce plan contient donc les tangentes menées en M à toutes les courbes tracées par M sur la surface. On obtient ainsi, par une nouvelle méthode, l'équation du plan tangent.

Supposons

ôx ôy ' ôz

L'équation (8) se réduit alors sensiblement à

' „ ô2F ôzF ô2F'

ôxz ôxôy ôz2

Remplaçant h, k, l par X — x, Y — y, X — z, on voit que la surface (1), dans le voisinage du point M, se confond sensiblement avec la surface représentée par

Donc, les tangentes menées par M aux différentes courbes tracées par ce point sur la surface, sont les génératrices d'un cône du second ordre, représenté par l'équation (10).

Cependant, si tontes les dérivées des deux premiers ordres

de F (.y, y,-) étaient nulles en M, le plan tangent en ee point

serait remplacé par le cône du troisième ordre dont l'équation

est

+ ô(X-«)(Y-y)(Z-,)sg>--a

Ainsi de suite.

Les points d'une surface, dont les coordonnées annulent les

, . , dF dF dF , .,.,.,.

dérivées -: — > > , » sont appelés ])oints singuliers ou i)omls dx oy oz

coniques (*).