Plan tangent aux surfaces algébriques. — Soil

F(x,y,z) = 0 une équation algébrique entière de degré m. Si

v \" z l'on y remplace x, y, z par ' , > * > - et qu'on chasse les dénominateurs, on obtient une équation entière et homogène de degré /??, qu'on représente par F .v. v, z, 1) = 0. On dit que x, y, s, / sont les coordonnées cartésiennes homogènes.

En raisonnant comme pour les courbes planes (125), on trouve que l'équation du plan tangent prend la forme

XF'X + YF'y + ZF'Z 4- TF\ = 0.

De même, une surface étant représentée par l'équation

F ■«!, a2, ... an) = 0,

où a,, x2J an désignent des fonctions linéaires des coordonnées cartésiennes .v, y, s, le plan tangent a pour équation

dF ôF ôF

(A.-oq / -+(A2 -*,/ / + ...+ A,-an)— = 0, G/a, 0a2 d»n

les quantités a1}a2, ... «n se rapportant au point de contact (x, y, s) et les quantités \x, A2, .. désignant ce que deviennent otlrots, ... pour les coordonnées courantes X, Y, Z. Si F|ap a2, ... ocn)

.Par exemple, si une courbe A tourne autour d'une droite m qui la rencontre en un point M, elle engendre une surface qui a un point conique en M : le plan tangent est remplacé, en ce point, par le cône de révolution avant pour axe m et pour génératrice la tangente menée en M à A.

est une fonction homogène de xn a2, ... an, l'équation précédente

se simplifie et l'on obtient

Ai |-A, + ... |-An =0.

()y.x o*2 <)xn

Application. — La surface asymptote a pour équation

xyz — k ■= 0.

Tout plan parallèle à un plan coordonné la coupe suivant une hyperbole dont les asymptotes sont situées dans les deux autres plans coordonnés.

L'équation homogène de cette surface étant xyz — A'/3 = 0, le plan tangent aura pour équation

Xys + Yzaf + Zxy — 3kTt- = 0, ou si l'on l'ait T = t = 1 et qu'on remplace k par xyz :

On en déduit que le point de contact est le centre de gravité du triangle déterminé par les plans coordonnés sur le plan tangent.

282. Equations paramétriques d'une surface. — Une surface peut être définie par un système de trois équations de la forme

»(w, v), y = 'fî(w,v), * = <p2(w,v), (il)

u et v étant deux paramètres variables.

Si l'on donne à v une valeur déterminée et qu'on fasse varier u, les formules (11) définissent une certaine ligne V. Cette ligne, quand on fait varier y, se déplace et engendre la surface.

De même, laissant u fixe et faisant varier y, on obtient une certaine ligne U ; l'ensemble des lignes U qui correspondent aux différentes valeurs de u, reproduit la surface.

Soit

l'équation du plan tangent en un point M(jc, y, s) de la surface.

Par ce point il passe une ligne V et une ligne U; les équations des tangentes en M à ces lignes sont respectivement :

X — x Y — y Z — z X — x Y — y Z — z àx dy dz <)x ày dz

du du du dv dv dv

Ces droites étant situées dans le plan tangent, oirdoit avoir :

. dœ . . dy . dz ^ . dx , dy , , dz . 1V

A, -f B : -C - = 0, A- +B-f + C - = 0. (13 du du ou dv dv dv

Éliminons A, B, C entre les égalités (12) et (13); nous aurons l'équation du plan tangent en M :

dx dy dz

du du du

ôx dy àz

âr Or dv

ou, en employant la notation des déterminants fonctionnels, ' d[u, v) v ô(u, v) J d(u, r)