CÔNES ET CYLINDRES CIRCONSCRITS
283. Cône circonscrit. — Soit à mener (fig. 55), par un point donné P(a, ,3, y), un plan tangent à une surface S, dont l'équation est
Prenons pour inconnues les coordonnées (.v, y, s) du point de contact M. Le plan tangent en M a pour équation
comme il doit passer par P, on a
Les égalités (1) et (2) expriment toutes les conditions de la question. Comme on n'a que deux équations entre les trois inconnues x, y, 2, le problème proposé est, en général, indéterminé : il passe par le point P une infinité de plans tangents; leurs points de contact forment une courbe ÀMB, résultant de l'intersection de S avec la surface représentée par l'équation (2).
Tous les plans qui résolvent le problème, touchent le cône qui a pour sommet P et pour directrice AM B ; car ils contiennent une génératrice PM et la tangente MT à la directrice AMB.
Cherchons l'équation de ce cône. Une génératrice PM est représentée par
Il faut éliminer x, y, z entre les équations (1), (2) et (3).
Remarque. — Il peut arriver que les plans tangents menés par un point donné P à la surface S soient en nombre limité : le système des équations (1) et (2) représente alors des lignes le long desquelles le plan tangent est le même. Tel est le cas pour une surface cylindrique.
284. Cylindre circonscrit. — Soit à mener (fig. 58) a la surface (1) un plan tangent parallèle à la droite représentée par les équations
Les coordonnées du point de contact vérifient les équations P(a?,y, *) - 0, «F'x + bF'y + cF'z = 0. (5)
Il résulte de là qu'en général le problème admet une infinité de solutions. Les plans cherchés touchent la surface en des points situés sur une courbe AMB qui est représentée par le système (5) ; ils sont tangents au cylindre dont les génératrices sont parallèles à la droite (4) et s'appuient sur la courbe (5).
Ces génératrices ayant pour équations
X — x Y — y rl — :
l'équation du cylindre s'obtient en éliminant x, y, s entre les égalités (5) et (6).
Remarque. — Il peut arriver que les plans tangents soient en nombre limité. Cette circonstance se présente quand le système (5) représente plusieurs lignes telles, que le plan tangent est le même en chaque point «l'une telle ligne.
285. Contour apparent d'une surface. — On nomme contour apparent d'une surface pour un observateur placé en un point 1', la courbe de contact du cône circonscrit qui a son sommet en P. Souvent c'est la trace de ce cône sur un plan ou sur une surface courbe donnés, qui est appelée contour apparent.
En géométrie descriptive, on considère le contour apparent d'une surface par rapport à un observateur placé à l'infini sur une droite de direction donnée; le cône visuel est remplacé par un cylindre circonscrit à la surface et ayant ses génératrices parallèles à la direction donnée.
Cherchons le contour apparent de la surface Y(x,y, z) --- 0,
pour un observateur placé à l'infini sur l'axe OZ. Pour que le
plan tangent en un point (x, y, z) soit parallèle à OZ, on doit
OF avoir = 0. Donc la courbe de contact de la surface avec un
cylindre circonscrit, parallèle à OZ, a pour équations
c'est le contour apparent proprement dit. En éliminant z entre les égalités (7), on obtient l'équation du contour apparent sur le plan xy.
286. Application. — Trouver la courbe de contact d'un bélicoïde à plan directeur, avec un cylindre circonscrit.
L'équation de l'hélicoïde étant
// z m arc te ; - * (8)
celle d'un plan tangent est
Supposons ce plan parallèle à une droite du plan xz, ayant pour équations
Occ z a c
La trace du plan tangent sur le plan xz est parallèle à celte
droite, ce qui exige
mu c
L'équation (10) représente un cylindre vertical, passant par la courbe cherchée.
1. Equations du plan tangent et de la normale en un point de la surface
représentée par
xz __j y 3 | ~3 — Sxi/Z = a3.
^. Equation d'un cône circonscrit au paraboloïde dont l'équation est
.!. Trouver l'équation du lieu des normales menées à un ellipsoïde le long d'une section de la surface par un plan parallèle à un plan principal. Démontrer que ces normales s'appuient sur deux droites fixes situées dans les deux autres plans principaux.
4. On appelle podaire d'une surface par rapport à un point donné (), le lieu des projections de () sur les plans tangents.
Démontrer que la normale en un point M' de la podaire passe au milieu du rayon OM joignant O au point correspondant M de la surface donnée.
Soient M, Ml5 M2 trois points infiniment voisins, pris sur une surface S, et soient M', M'l5 M'2 les projections d'un point fixe () sur les plans tangents en M, ML, M>. Si ces plans tangents se coupent en P. la sphère décrite sur OP comme diamètre passe par M', M\, M'.>. Faisons tendre les points V^ et Mo vers le point M ; P aura pour limite M, et le plan M'M^M'., tendra à se confondre avec le plan tangent mené en M' à la podaire, etc.
