La podaire du centre d'un ellipsoïde a pour équation
On l'appelle surface d'élasticité.
6. On appelle polhodie le lieu des points de contact d'un ellipsoïde avec les plans tangents menés à une distance constante du centre. Trouver les équations de cette courbe.
7. A partir des différents points d'une surface donnée S, on porte, sur les normales à cette surface, une longueur constante /: chercher la normale à la surface S', lieu des points ainsi obtenus.
Soient a\ y, z et X, Y. Z les coordonnés de deux points correspondants M, M' de S. S' et soient a, (3, V les angles directeurs de MM'; on a
X = a; + ^ cos a, Y = y -h l e°s P» Z = z + Z cos y.
En différentiant, on obtient
dX =-- dx 4- ^r/ COS aj ^V = </// [- Id cos |3, o?Z = dz -\- Id cos y.
De là, on conclut
- cos a <iX = S cos y. dx + ff cos a <7 cos a.
Le coefficient de / est nul parce que £ cos- t = 1 ; la quantité 1' cos a f/.v est nulle parce que MM' est perpendiculaire à la tangente menée par M à toute courbe tracée par ce point sur S; donc £cos*rfX = 0, relation qui exprime que M'M est normale à toute courbe tracée par M' sur S'.
Les surfaces. S, S', qui ont les mêmes normales, sont dites parallèles.
8 A chaque point Ml a-, y, z) dune surface donnée S, on fait correspondre un point M'(a, 8, y), d'après une loi exprimée par des formules données
/"(#, y, z), 3 = fx(x, y, z), y = /i(a?, y, z).
Le point M' engendre une certaine surface S'. Si l'équation de S est F \. r. s) o, le plan tangent au point M' de S' a pour équation
dx
dx
dx
tL
dy
dy
dy
dy
dz
dz
dz
En effet, les formules de transformation (1) et l'équation de S donnent
r/x = dx -\- — du 4- dz, dp
<)x x dy * dz
dx ' ^ * ' dz
°l dx+ â-{ dij + ^ rf*, 0== F'x^i'-|- F\ (/// -|-F'Z ofc.
cAv
dz
Si, entre ces quatre égalités, on élimine dx, dy, dz on trouve
()a (ja àa
dz
dy
ép
(9cT
dr
dr
dy
<ty
("est la relation entre les différentielles des coordonnées du point M', supposé mobile dans une direction quelconque sur S'. Mais la tangente en M' à une courbe tracée par ce point sur S' a pour équations
Remplaçons, dans l'égalité (2), les différentielles rfx, rfS, rfy par les différences X — a, Y — R, Z - y qui leur sont proportionnelles, etc.
9. En un point quelconque M(x, y, z) d'une surface S, on mené le plan tangent, qui coupe les axes OX, OY, OZ aux points A, P>, C. On construit le parallélipipèue qui a pour arêtes OA, OB, OC : soit M' le sommet oppose à O. Trouver le plan tangent à la surface engendrée par le point M'.
Soient a, 'i, y les coordonnées de M', et Fi.v, y, zj = 0, l'équation de S. On trouve facilement
«F'X = V, ?F'y-V, yF', = V, (1)
où V = œ¥'x + 2/F'y + sF'z. (2)
On a dV = ZF'^dœ -f ZœdF'* = Ïa*/F'x ,
à cause de SF'xdkc = 0. Des relations (1), on déduit
F'xtfa -j- ar/F'x = rfV - 2a^F'x, F'vr/3 h ^Fry = S^rfF'x , FWï - Y^F'Z - S^F'X.
Ajoutons ces dernières égalités, après multiplication par xF'x, jF'y, sF'z; nous aurons, en tenant compte des équations (1), ï.vF^/a =0. Le plan tangent cherché a donc pour équation
^F'2(X- a) = 0 ou ïXf = 1,
F'x, F'y, F'z étant proportionnelles à , fJ, •
